Содержание: Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия над ними Делимость. Простые и составные числа Делимость. Простые и составные числа Делимость. Простые и составные числа Делимость. Простые и составные числа Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Задачки Задачки Задачки Понятие множества, пересечение и объединение множеств Понятие множества, пересечение и объединение множеств Понятие множества, пересечение и объединение множеств Понятие множества, пересечение и объединение множеств Одночлены и многочлены Одночлены и многочлены Одночлены и многочлены Одночлены и многочлены Разложение многочлена на множители Разложение многочлена на множители Разложение многочлена на множители Разложение многочлена на множители Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения Подумай и реши Подумай и реши Подумай и реши Подумай и реши Задания Задания Задания Авторы Авторы Авторы

Натуральные числа в порядке возрастания можно записать в виде последовательности 1, 2, 3, 4,… Множество всех натуральных чисел обозначается через N. Натуральные числа в порядке возрастания можно записать в виде последовательности 1, 2, 3, 4,… Множество всех натуральных чисел обозначается через N. Для натуральных чисел определены арифметические операции(сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в Степень(число а в степени n, аn – это результат умножения числа а на себя n раз), обратная операция к возведению в степень – извлечение корня (b = а, если а = b) Для натуральных чисел определены арифметические операции(сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в Степень(число а в степени n, аn – это результат умножения числа а на себя n раз), обратная операция к возведению в степень – извлечение корня (b = а, если а = b) Сложение и умножение удовлетворяют переместительному закону(закону коммутативности): a + b = b + a, a · b=b · a и сочетательному закону (закону ассоциативности): (a + b ) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c), а также распределительному (дистрибутивному) закону: (a + b) · c = a · c + b · c Сложение и умножение удовлетворяют переместительному закону(закону коммутативности): a + b = b + a, a · b=b · a и сочетательному закону (закону ассоциативности): (a + b ) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c), а также распределительному (дистрибутивному) закону: (a + b) · c = a · c + b · c

ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. 1.Разделить число а на число b – значит найти такое x, a : b = x, что xb = a. Если такое число существует, то говорят, что а делится на b, а число b называется делителем числа а. 2.На 2 (или на 5) делятся те и только те числа, последняя цифра которых выражает число, делящееся на 2 (или на 5) 3.На 4 (или на 25) делятся те и только числа, две последние цифры которых выражают число, делящееся на 4 (или на 25) 4.На 3 (или на 9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9) 5.На 11 делятся те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11 6.Число а, отличное от 1, называется простым, если делителями являются только единица и само число а. Число а, имеющее и другие делители, называется составным. 7.Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, например: 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3.

НОД и НОК Среди общих делителей чисел а и b можно выбрать наибольший общий делитель НОД (a ; b). Например, НОД (45 ; 60) = 15. Если НОД (a ; b) =1, то числа а и b называются взаимно простыми. Любой общий делитель произвольных чисел а и b делит наибольший общий делитель этих чисел. Число, делящееся на число а и на число b, называется общим кратным чисел а и b. Среди общих кратных а и b можно выбрать наименьшее общее кратное НОК (a ; b). Например, НОК (4 ; 6) = 12. Любое общее кратное произвольных чисел а и b делится на НОК (a ; b). Числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда НОК (a ; b) = a · b.

Найдите НОД двух чисел: ; ; ; 60 Найдите НОК двух чисел: 1. 4 ; ; ; 8.

Понятие множества 1.Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку. Множество – понятие неопределяемое. 2.Множество может состоять из чисел, предметов и т. д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется элементом множества. - это множество точек 3. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается в виде а А. А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} число 4 принадлежит А, а число 20 не принадлежит А

Продолжение 4. Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается символом Ø. 5. Если каждый элемент одного множества А является элементом другого множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Это выражается записью А с В. 6. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств (рис. 1) Рис. 1

7. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них. Объединение множеств обозначают символом ں и пишут С = А ں В = { x | x A или x B (рис. 2) Вопрос: какое множество является объединением данных множеств? 1.А = {1 ; 2 ; 5 ; 7}, B = {3 ; 5 ; 7 ; 8} 2. Н = {4 ; 7 ; 67 ; 34 ; 5 ; 2 }, M = {7 ; 89 ; 34 } 3. K = { 78 ; 89 ; 56 ; 90}, P = {87 ; 98 ; 65 ; 9}

1.Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и натуральных степеней, называется одночленом. 2. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, 8x³y² - одночлен пятой степени. Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. 3. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например, 1+ 2х² - 5х²у³ - многочлен пятой степени. 4. При взятии суммы многочленов надо привести подобные члены (слагаемые). Для этого достаточно сложить их коэффициенты и полученное число умножить на буквенное выражение.

5. При взятии разности многочленов надо вычитаемый многочлен взять в скобки, далее раскрыть скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный, после чего привести подобные члены. Например, (4х² - 3х + 3) – (3х² - х + 2) = = 4х² - 3х + 3 – 3х² + х – 2 = х² - 2х Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить. Деление многочлена на одночлен произведение по аналогичному правилу. 7. Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить. Например, 5х(х – у) + (2х + у)(х – у) = = 5х² - 5ху + 2х² + ху – 2ху - у² = 7х² - 6ху - у²

Разложение многочлена на множители При вынесения общего множителя за скобки выражение в скобках получается делением каждого члена многочлена на общий множитель. Например, 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Решите самостоятельно: 1. ab + 2a – 3b – (x – 2y)² - 3x + 6y

Подумай и реши 1.8х³ - 27у³ = 2. 4a² - 9b² = 3. (13a + 7b)² = 4. (7x + 8y)² = 5. (12k – 9h)² = 6. (2d + 6p)³ = 7. (3k – 9h)³ = 8. 7a³ - y³ = 9. 5q³ + 12k³ = 10. 2p² - 7t² =

Напишите определения: Простое число Составное число Набольший общий делитель Наименьшее общее кратное Взаимно простые числа Элемент множества Пересечение множеств Объединение множеств

1.Одночленом называется … 2. Степенью одночлена называется… 3. Подобные одночлены – это… 4. Многочлен – это… 5. Степенью многочлена называется…

Найдите объединение множеств: 1.A = {32; 5; 8; 9; 33; 77} и B = {2} 2. K = {4; 6; 87; 22; 678} и Y = { 45; 6; 87} 3. T = {6; 9} и P = {89; 0; 5; 9} Найдите пересечение множеств: 1.A = {5; 7; 89; 456} и B = {78; 4; 5} 2. A = {12; 34; 56} и N = {12; 34; 67} 3. H = { 78; 5; 9; 0; 7; 1; 3} и M = {7, 6, 8, 4, 3}