ТЕОРИЯ РЯДОВ

Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросах естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляются значения различных функций (логарифмических, тригонометрических, показательных и др.), вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п.

В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память компьютеров и микрокалькуляторов, основаны на применении теории рядов.

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

1.1. Понятие о рядах Выражение вида называется числовым рядом. - члены ряда - общий член ряда

Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается через частичные суммы

При изменении n меняется и Sn; при этом возможны два случая: 1) величина S n при n имеет предел S, т.е. Тогда ряд называется сходящимся, а S- суммой ряда. 2) величина S n при n предела не имеет или её предел равен. Тогда ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Пример 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия): частичные суммы всё меньше и меньше отличаются от 1.

Объединение всех этих прямоугольников дает исходный прямоугольник, значит, и сумма их площадей д.б. равна площади исходного:

Ряд сходится, т.к. формула для геометрической прогрессии

Пример 2 (бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия) : Ряд расходится, т.к формула для геометрической прогрессии

Ряд геометрической прогрессии Ряд сходится при Ряд расходится при ( см.пример 1) (см. пример 2)

Пример 3 (гармонический ряд): Ряд расходится.

Пример 4 последовательность частичных сумм не имеет предела Ряд расходится.

Пример 5 Ряд сходится к. Сумму ряда нашёл Г.Лейбниц Пример 6 Ряд сходится к. Сумму ряда нашёл Л.Эйлер

Свойства конечных сумм, такие как ассоциативность (произвольная группировка членов), коммутативность (произвольная перестановка членов), для рядов вообще говоря не имеют места. Однако, если ряд с положительными членами сходится, то его члены м.б. сгруппированы произвольным образом- полученный ряд также сходится и имеет ту же сумму, что и данный.

Свойства рядов 1 0. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд также сходится и его сумма равна cS. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то ряд останется сходящимся, а его сумма умножится на это число.

1 0. Если ряд расходится и с 0, то ряд также расходится.

Пример 7 Известно, что ряд сходится. Показать, что сходится и ряд Последний ряд получился из первого умножением на с=2 4

2 0. Если ряды сходятся и их суммы равны соответственно S и S,то и каждый из двух рядов сходится и сумма каждого равна соответственно S S. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Пример 8 Исследовать на сходимость ряд и если он сходится, найти его сумму S.

Решение Данный ряд м.б. представлен в виде или

Рассмотрим получившиеся два ряда и Т.к. они являются рядами убывающей геометрической прогрессии, то они сходятся и их суммы равны соответственно:

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма:

3 0. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов.

Пример 9 Известно, что ряд сходится. Тогда сходящимся является и ряд: который получается из данного отбрасыванием и добавлением конечного числа членов.

Сумма называется n-ым остатком ряда Т.к. остаток получается из данного ряда отбрасыванием, а данный ряд из остатка- добавлением конечного числа членов, то согласно свойству 3 0, они одновременно сходятся или расходятся.

Если ряд сходится, то Т.е. остаток стремится к нулю при неограниченном возрастании n. В вопросах приближенного вычисления важную роль играет оценка точности приближения. Если значение данной величины представлено в виде ряда, то оценку приближения при помощи частичных сумм можно получить путем исследования остатка ряда.

Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в начале XIX века. Тогда же началось систематическое изучение рядов.

1.2. Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его общий член u n 0 при неограниченном возрастании n (n ) Еслиили не существует, то ряд расходится

Пример 10 Известно, что ряд сходится. Проверим необходимое условие Необходимое условие выполнено.

Пример 11 Ряд расходится, т.к. Необходимое условие не выполнено ряд расходится

Пример 12 Известно, что ряд гармонический. Необходимое условие сходимости ряда выполняется: Между тем этот ряд расходится.

Доказательство: Прологарифмируем по основанию е:

Пусть n = 1,2,3,4,5,… Тогда получаем:

Складывая эти неравенства, получим: S n - частичная сумма гармонического ряда Посколькуто Ряд расходится.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным. Иными словами: нарушение этого условия гарантирует расходимость ряда, но его выполнение не гарантирует сходимости!