Предел и непрерывность функции.

Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется так, что какое бы малое положительное число ни взято,α становится и при дальнейшем изменении величины α остается меньше. α0 1 0 или

Переменная величина у называется бесконечно большой, если она изменяется так, что какое бы большое положительное число N ни взято, у становится и при дальнейшем изменении величины у остается больше N. у или 0

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величины. 1) если, то 2) если, то x y 0

пример: 1), тогда 2), тогда

Предел переменной Число 3 называется пределом переменной х: или

Постоянная а называется пределом переменной х, если разность между ними есть бесконечно малая величина α, т.е, еслиили

Предел функции

Определение «на языке последовательности» Число а называется пределом функции f(x) в точке х=х 0, если для всех значений х, достаточно близких к х 0 (хх 0 ) и отличных от х 0 (хх 0 ), значение функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа а (f(x)а), т.е приили

Односторонние пределы. Пределы функций при хх 0 - и хх 0 + Определение «на языке последовательности»: если f(x) стремится к пределу а при хх 0 так, что х принимает только значения, меньшие х 0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х 0 слева (или левым пределом) и пишут

Определение «на языке последовательности»: если f(x) стремится к пределу а при хх 0 так, что х принимает только значения, большие чем х 0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х 0 справа (или правым пределом) и пишут

Пример. у х 0 1

Связь между односторонними пределами. Теорема. Функция f(x) имеет в точке х 0 предел а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам:

Доказать, что функция в точке х=0 не имеет предела. не существует у x 0 1

Доказать, что функция в точке х=0 имеет предел. существует y x 0

Пределы функций при х, х - и х+ Определение «на языке последовательности»: число а называется пределом функции f(x) при х, если для всех значений х бесконечно большой последовательности значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от а (f(x) а) и пишут

Определение «на языке последовательности»: число а называется пределом функции f(x) при х+ ( х- ), если для всех значений х бесконечно большой последовательности, элементы которой положительны (отрицательны), значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа а (f(x) а) и пишут

Справедлива теорема Доказать, что функция при х имеет предел. существует у x 0

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция α=α( х ) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х 0 (или при хх 0 ), если Аналогично определяются бесконечно малые функции при хх 0 -, хх 0 +, х-, х+, х. Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малая переменная величина.

Пример: 1) функция есть бесконечно малая при х1, т.к 2) функция есть бесконечно малая при х, т.к g(x) x 0 y x 0 1

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х 0 (или при хх 0 ), если Аналогично определяются бесконечно большие функции при хх 0 -, хх 0 +, х-, х+, х. Если f(x) стремится к бесконечности при хх 0 и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

Замечание. Функция y=f(x) при хх 0 или при х может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. Пример. Функция y=sinx, определенная на всем числовом интервале, при х не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности.

Основные теоремы о пределах

7) Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки х 0, за исключением может быть самой точки х 0, и функции f(x) и h(x) имеют в точке х 0 предел, равный а, т.е. Пусть, кроме того, выполняется неравенство: Тогда

I.Вычисление пределов функций. 1)Вычислить

2) Вычислить убедимся, что предел знаменателя отличен от 0: тогда применима теорема о пределе дроби:

II. Вычисление пределов функций. Предел знаменателя равен 0. 3) Вычислить ( 3х-12) есть бесконечно малая величина, а обратная ей величина есть бесконечно большая.

4 ) Вычислить неопределённость

5 ) Вычислить

III. Вычисление пределов функций. Предел функции при х. 6 ) Вычислить (4 х+3) при х есть бесконечно большая величина, а обратная ей величина есть бесконечно малая.

7 ) Вычислить

Для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на старшую степень х.