Современные компьютерные технологии в экономической науке и практике 1 Кийкова Елена Валерьевна Ст. преподаватель кафедры ИСПИ ВГУЭС Владивосток

Технологии применения табличного процессора для решения экономических задач с использованием аналитических, табличных и графических моделей Моделирование числовых последовательностей и рядов Технологии исследования функций

1 Моделирование числовых последовательностей и рядов 1.1 Создание массива элементов числовой последовательности Числовые последовательности представляют собой множества чисел. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …, n поставлено в соответствие вещественное число x n, то множество чисел x 1, x 2, x 3, …,x n называют числовой последовательностью. Числа x 1, x 2, x 3, …,x n называют, членами последовательности, элемент x n - общим элементом, а число n –его номером. Таким образом, последовательность представляет собой множество пронумерованных элементов. Последовательность задана, если известен способ получения любого ее элемента. Последовательность обозначается символом {x n }. Например, символ {1/n}обозначает последовательность чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/n. В общем случае для создания массива элементов последовательности нужно выполнить следующие действия: 1. Создать массив, содержащий множество чисел натурального ряда; 2. Ввести в ячейку формулу последовательности, делая в ней адресные ссылки на ячейки, содержащие номера элементов последовательности 3. Скопировать введенную формулу во все другие ячейки массива.

4 Пример создания последовательности {1/n}, и последовательности {n/(n+1)}. Для создания арифметической или геометрической прогрессии, табличный процессор имеет специальный инструмент Прогрессия, который включается командой меню Правка/Заполнить/Прогрессия.

Правка/Заполнить/Прогрессия Для создания последовательности нужно: ввести значение первого элемента в ячейку; выделить диапазон ячеек для членов прогрессии; выполнить команду Правка/Заполнить/Прогрессия; в появившемся окне диалога Прогрессия указать тип и параметры создаваемой последовательности. Результат

6 1.2 Технология вычисления пределов числовых последовательностей Технологию приближенного вычисления предела числовой последовательности рассмотрим на примере. Пусть требуется найти предел числовой последовательности Решение

7 1.3 Технология моделирования числовых рядов Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u 1, u 2, …, u n …, соединенных знаком сложения: Ряд считается заданным, если известен его общий член u n =f(n). Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой ряда. Для вычисления частичной суммы ряда в электронной таблице нужно выполнить следующие шаги: 1. Вычислить n первых членов числовой последовательности 2. Вычислить сумму членов числовой последовательности

П. Мельников Моделирование функциональных рядов В отличие от числовых рядов членами функционального ряда являются функции. Ряд, составленный из функций одной и той же переменной х: называется функциональным. Функциональные ряды находят практическое применение в финансовых вычислениях. Например, в задаче о сложных процентах при вкладе в банк U 0 денежных единиц с ежегодной выплатой х процентов годовых, функциональный ряд годовых приростов будет иметь вид: U 0 +U 0 x + U 0 (1+x)x +…+U 0 (1+x) n-1 x +…=U 0 (1+x) n Для вычисления частичных сумм этого ряда в библиотеке Excel есть специальная функция с именем БС. Кроме того, есть несколько функций, предназначенных для вычисления различных параметров такого ряда. Так функция КПЕР позволяет вычислить число членов ряда n по его частичной сумме, Функция ПС вычисляет начальное значение U 0 при заданном числе членов ряда n, частичной сумме ряда и величине процентной ставки

П. Мельников 9 2 Исследование функций 2.1 Способы задания функций Функция может быть задана таблично, в виде графика или аналитически. В табличном представлении одна из переменных представляется как независимая, другие величины будут являться функциями этого аргумента. На рисунке приведен пример табличного задания функции. Каждому значению независимой переменной Х соответствует значение функции Y, записанное в той же строке таблицы. Графическое представление функции, позволяет наглядно представить характер функции. Аналитический способ задания функции заключается в задании связи между аргументом в виде формулы или системы формул, например Y= x

П. Мельников 10 Графики функций в табличном процессоре График - это графическое отображение характера зависимости значения функции от значения ее аргумента. Графики функций и диаграммы в Excel создаются с помощью мастера диаграмм, который включается командой меню Вставка - Диаграмма или щелчком на соответствующей кнопке панели инструментов. График (диаграмма) представляет собой составной объект, который может включать несколько объектов В их число входят: область диаграммы - объект, в котором могут размещаться все другие объекты диаграммы; область построения диаграммы - объект, в котором размещаются ряды и линии сетки; ось категорий (аргумента); ось значений; область названия оси категорий; область названия оси значений; область заголовка диаграммы; область легенды

Пример Построить графическую модель функции в диапазоне [-1;1] Y=x 3 – 0,01x 2 -0,7044x + 0,139 Решение: Оформим рабочий лист как показано на рисунке В ячейку А3 запишем -1. Используя команду Правка/Заполнить/Про грессия заполним диапазон ячеек А3:А13 (с шагом 0,2) В ячейку В3 введём формулу Скопируем формулу из ячейки В3 в ячейки В4:В13 =A3^3-0,01*A3^2-0,7044*A3+0,139 Построим график функции. Выделим область А2:В13. Запустим Мастер диаграмм. Заполнение диалоговых окон (4 шага) представлено на рисунке.

График функции Y=x 3 – 0,01x 2 -0,7044x + 0,139 в диапазоне [-1;1]

П. Мельников Численное вычисление пределов функций В математике для нахождения пределов функций применяются специальные приемы, в частности такой, как разложением числителя и знаменателя на сомножители и некоторые другие. Используя электронную таблицу, можно применить следующую технологию: В ячейку рабочего листа ввести формулу, соответствующую выражению функциональной зависимости, в которой значение аргумента указывается адресной ссылкой на ячейку, которая содержит аргумент В ячейку, предназначенную для записи аргумента функции, ввести число, максимально близкое к точке, в которой вычисляется предел функции. Пример. Найти предел функции Решение Значение слева Значение справа

П. Мельников Нахождение корней функции одной переменной Корнями функции Y=f(x) называют такие значения х, при которых функция принимает значение ноль. Используя возможности MS Excel можно находить корни функции в ограниченной области определения переменной х. Последовательность операций нахождения корней следующая: 1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней. 2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней. 3. Используя средство MS Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью. Например, требуется найти все корни функции Y=X 3 -0,01X 2 - 0,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1 ; 1]. Функция представлена полиномом третьей степени, следовательно, она может иметь не более трех корней. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции

15 Выполним команду Сервис/Параметры, на вкладке Вычисления установим относительную погрешность вычислений 0,000001, число итераций 1000, установим флажок Итерации. Выполним команду меню Сервис - Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля: Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции. Значение: в поле указывается значение, которому должно удовлетворять значение функции, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0). Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

П. Мельников 16 После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0,9199. Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: 0,2098 и 0,

П. Мельников Нахождение локальных экстремумов функции Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения. Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере. Задана неразрывная функция Y= X 2 +X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) на отрезке [-2, 2]. Решение

2.5 Технология получения математической модели функции по её табличному представлению Пример: Имеются сведения о величинах страховых выплат по годам, представленные в таблице. Требуется исследовать характер изменения величины страховых выплат и подобрать аппроксимирующую функцию. Год Сумма страховых выплат (руб) Решение: В ячейки рабочего листа введём исходные данные. Построим график функции (тип диаграммы – точечная). Установить указатель мыши на линию графика и вызвать контекстное меню. В контекстном меню выбрать Добавить линию тренда

В диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип, учитывая характер изменения функции на графике, выбрать вид аппроксимирующей функции. На вкладке Параметры задать дополнительные параметры: Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации. На диаграмме отобразится линия тренда и аналитическая запись аппроксимирующей функции.

Типы аппроксимирующих функций (при построении линии тренда)

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ