Системы счисления. Методы перевода чисел из одной системы в другую Системы счисления. Методы перевода чисел из одной системы в другую Авторы: Суваров Р. ученик 11 класса Б МОСШ 7 учитель информатики Балаева О.Е.

Системы счисления Римская система счисления Позиционные системы счисления Перевод чисел из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную систему счисления Алгоритм перевода числа из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2 n Арифметические операции в позиционных системах счисления Практическая часть

Системы счисления Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит. Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит. Содержание

Римская непозиционная система счисления I1C100V5D500 X10M1000 L50 Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система счисления. В качестве цифр в римской системе счисления используются буквы. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система счисления. В качестве цифр в римской системе счисления используются буквы. Далее

Примеры: В числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает одну и ту же величину10, т.к. величина используемой цифры одинакова, то получаем XXX = = 30. В числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает одну и ту же величину10, т.к. величина используемой цифры одинакова, то получаем XXX = = 30. В числе VII использованы цифры V I I, в данной ситуации меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы прибавляем значение данных цифр и получаем VII = = 7. В числе VII использованы цифры V I I, в данной ситуации меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы прибавляем значение данных цифр и получаем VII = = 7. В числе IV тоже использованы цифры V I, но в данной ситуации меньшая цифра расположена слева от большей, поэтому мы вычитаем из большего значение меньшее и получаем IV = 5 – 1 = 4 В числе IV тоже использованы цифры V I, но в данной ситуации меньшая цифра расположена слева от большей, поэтому мы вычитаем из большего значение меньшее и получаем IV = 5 – 1 = 4 Далее

MCMXCVII = (1000 – 100) + (100 – 10) = = 1997 MCMXCVII = (1000 – 100) + (100 – 10) = = 1997 MMVIII = = 2008 MMVIII = = 2008MCMXCVII MMVIII Содержание

Позиционные системы счисления Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация шестидесятеричной, т.е. ней использовалось шестьдесят цифр. При измерении времени мы до сих пор используем основание, равное 60 (в 1 часе 60 минут, в 1 минуте 60 секунд). Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация шестидесятеричной, т.е. ней использовалось шестьдесят цифр. При измерении времени мы до сих пор используем основание, равное 60 (в 1 часе 60 минут, в 1 минуте 60 секунд). Далее

Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В 595 году (уже нашей эры) в Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления. Знаменитый персидский математик Альхорезми выпустил учебник, в котором изложил основы десятичной системы индусов. После перевода его с арабского языка на латынь и выпуска книги Леонардо Пизано (Фибоначчи) эта система счисления стала доступна европейцам, получив название арабской, т.е. та система счисления, которой мы все с вами пользуемся. Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В 595 году (уже нашей эры) в Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления. Знаменитый персидский математик Альхорезми выпустил учебник, в котором изложил основы десятичной системы индусов. После перевода его с арабского языка на латынь и выпуска книги Леонардо Пизано (Фибоначчи) эта система счисления стала доступна европейцам, получив название арабской, т.е. та система счисления, которой мы все с вами пользуемся. Далее

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. Далее

Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная2 0, 1 Восьмеричная8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15) Далее

Десятичная система счисления Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Рассмотрим в качестве примера число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая правая – пять десятков и, третья – пять сотен. Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Рассмотрим в качестве примера число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая правая – пять десятков и, третья – пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Далее

Число 555 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания в которую данное основание системы будет возводится, начиная с нулевого с самого крайнего целого числа. Число 555 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания в которую данное основание системы будет возводится, начиная с нулевого с самого крайнего целого числа. В развернутой форме записи числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом: В развернутой форме записи числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом: Далее

Двоичная система счисления В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Далее

Восьмеричная система счисления В восьмеричной системе счисления основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число В восьмеричной системе счисления основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число в развернутой форме будет иметь вид: в развернутой форме будет иметь вид: Далее

Шестнадцатеричная система счисления В шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число В шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число в развернутой форме будет иметь вид: в развернутой форме будет иметь вид: Далее

Позиционные системы счисления с произвольным основанием В общем случае в системе счисления с основанием q запись числа Аq, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом: В общем случае в системе счисления с основанием q запись числа Аq, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом: Содержание

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления. Возьмем любое двоичное число, например 10,11 2. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Возьмем любое двоичное число, например 10,11 2. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Далее

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Далее

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: Содержание

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления необходимо последовательно выполнять деление исходного целого числа десятичной системы счисления на основание требуемой системы счисления и получаемых целых частных до тех пор, пока не получится частное меньше делителя, т.е. требуемого основания. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления необходимо последовательно выполнять деление исходного целого числа десятичной системы счисления на основание требуемой системы счисления и получаемых целых частных до тех пор, пока не получится частное меньше делителя, т.е. требуемого основания. Далее

Перевод числа 2910 в двоичную систему счисления. Полученные остатки записываются в обратном порядке, начиная с последнего частного, следовательно: Перевод числа 2910 в восьмеричную систему счисления. Полученные остатки записываются в обратном порядке, начиная с последнего частного, следовательно: Перевод числа 2910 в шестнадцатеричную систему счисления. Полученные остатки записываются в обратном порядке, начиная с последнего частного, следовательно: Пример: Далее

Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Последовательно выполнять умножение исходной дроби и полученных дробных частей произведения на основание требуемой системы счисления до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть, или не будет достигнута точность вычисления, а целые части записываются по порядку после запятой. Последовательно выполнять умножение исходной дроби и полученных дробных частей произведения на основание требуемой системы счисления до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть, или не будет достигнута точность вычисления, а целые части записываются по порядку после запятой. Далее

Пример: Перевод дроби 0,37510 в двоичную систему счисления. 0,0,0,0,3752 0, , ,000 Перевод дроби 0,37510 в восьмеричную систему счисления. 0, ,000 Перевод дроби 0,37510 в шестнадцатери чную систему счисления. 0, ,000 Содержание

Алгоритм перевода числа из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n. Перевод чисел между системами счисления, основания которых является степенями числа 2 (q=2n), может производится по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (2=21), восьмеричной (8=23) и шестнадцатеричной (16=24) системами счисления. Перевод чисел между системами счисления, основания которых является степенями числа 2 (q=2n), может производится по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (2=21), восьмеричной (8=23) и шестнадцатеричной (16=24) системами счисления. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную часть – слева направо на группы по n цифр в каждой. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную часть – слева направо на группы по n цифр в каждой. Если в последней левой или правой группе окажется меньше n разрядов, то ее (группу) необходимо дополнить до нужного числа разрядов нулями. Если в последней левой или правой группе окажется меньше n разрядов, то ее (группу) необходимо дополнить до нужного числа разрядов нулями. Рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число и записать его в соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n. Рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число и записать его в соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n. Для упрощения перевода созданы таблицы соответствия между числами двоичной системы счисления и числами восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Для упрощения перевода созданы таблицы соответствия между числами двоичной системы счисления и числами восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Далее

Перевод чисел двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. Восьмеричную систему счисления можно представить в виде 23, n=3, т.о. для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления его нужно разбить на группы по три цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу двоичных триад в восьмеричную цифру. Восьмеричную систему счисления можно представить в виде 23, n=3, т.о. для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления его нужно разбить на группы по три цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу двоичных триад в восьмеричную цифру. Далее

Примеры: Пример 1. Переведем число двоичной системы счисления в число восьмеричной системы счисления. Для перевода разделим данное число на группы по три разряда справа налево – получим двоичные триады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной триады число восьмеричной системы счисления. Получим: = 6568 Пример 1. Переведем число двоичной системы счисления в число восьмеричной системы счисления. Для перевода разделим данное число на группы по три разряда справа налево – получим двоичные триады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной триады число восьмеричной системы счисления. Получим: = 6568 Пример 2. Переведем число 274,1568 восьмеричной системы счисления в число двоичной системы счисления. Для перевода каждой цифры данного числа найдем соответствие двоичной триады по таблице соответствия. Получим: 274,1568 = , = , Пример 2. Переведем число 274,1568 восьмеричной системы счисления в число двоичной системы счисления. Для перевода каждой цифры данного числа найдем соответствие двоичной триады по таблице соответствия. Получим: 274,1568 = , = , Далее

Перевод чисел двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. Шестнадцатеричную систему счисления можно представить в виде 24, n=4, т.о. для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления его нужно разбить на группы по четыре цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру. Шестнадцатеричную систему счисления можно представить в виде 24, n=4, т.о. для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления его нужно разбить на группы по четыре цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру. Далее

Примеры: Пример 1. Переведем число 11010, двоичной системы счисления в число шестнадцатеричной системы счисления. Для перевода разделим данное число на группы по четыре разряда справа налево и слева направо – получим двоичные тетрады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной тетрады число шестнадцатеричной системы счисления, обратим внимание на то, что крайней левой и крайней правой частях триад не хватает разрядов, поэтому дополняем их нулями. Получим: , = , = 1А,DC16 Пример 1. Переведем число 11010, двоичной системы счисления в число шестнадцатеричной системы счисления. Для перевода разделим данное число на группы по четыре разряда справа налево и слева направо – получим двоичные тетрады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной тетрады число шестнадцатеричной системы счисления, обратим внимание на то, что крайней левой и крайней правой частях триад не хватает разрядов, поэтому дополняем их нулями. Получим: , = , = 1А,DC16 Пример 2. Переведем число 5E,416 шестнадцатеричной системы счисления в число двоичной системы счисления. Для перевода каждой цифры данного числа найдем соответствие двоичной тетрады по таблице соответствия. Получим: 5Е,416 = , = ,012 Пример 2. Переведем число 5E,416 шестнадцатеричной системы счисления в число двоичной системы счисления. Для перевода каждой цифры данного числа найдем соответствие двоичной тетрады по таблице соответствия. Получим: 5Е,416 = , = ,012 Содержание

Арифметические операции в позиционных системах счисления. Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам, которые мы используем в десятичной системе счисления. Для примера рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам, которые мы используем в десятичной системе счисления. Для примера рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Далее

Сложение: Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или больше основания. Для двоичной системы это число равно двум = = = = 10 Рассмотрим пример: , произведем сложение столбиком Далее

Вычитание: Важно обратить внимание на то, что при вычитании из меньшего числа (0) большего числа (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 0 – 1 = 11 1 – 1 = 0 Рассмотрим пример: – 11 2, произведем вычитание столбиком Далее

Умножение: Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или больше основания. Для двоичной системы это число равно двум. 0 × 0 = 0 1 × 0 = 0 0 × 1 = 0 1 × 1 = 1 Рассмотрим пример: × 11 2, произведем умножение столбиком. х Далее

Деление: Операция деления выполнятся по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа на Содержание

Практическая часть: Задание 1: Задание 1: Перевести числа из римской системы счисления в арабскую систему счисления. Перевести числа из римской системы счисления в арабскую систему счисления. XXI 1 балл XXI 1 балл CVII 1 балл CVII 1 балл CMLXXIV 2 балла CMLXXIV 2 балла Далее

Задание 2: Перевести числа из римской системы счисления в арабскую систему счисления, выполнить указанные арифметические действия и полученный результат перевести обратно - из арабкой системы счисления в римскую систему счисления. Перевести числа из римской системы счисления в арабскую систему счисления, выполнить указанные арифметические действия и полученный результат перевести обратно - из арабкой системы счисления в римскую систему счисления. LV ÷ XI 2 балла LV ÷ XI 2 балла CXX ÷ (V × IV) 2 балла CXX ÷ (V × IV) 2 балла Далее

Задание 3: Перевести целое число десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления. Перевести целое число десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления = Х 2 2 балла = Х 2 2 балла = Х 8 2 балла = Х 8 2 балла = Х 16 2 балла = Х 16 2 балла Далее

Задание 4: Используя развернутую форму записи числа, перевести числа из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления. Используя развернутую форму записи числа, перевести числа из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления = Х 10 2 балла = Х 10 2 балла 10,10 2 = Х 10 2 балла 10,10 2 = Х 10 2 балла = Х 10 2 балла = Х 10 2 балла 64,5 8 = Х 10 2 балла 64,5 8 = Х 10 2 балла 39F 16 = Х 10 2 балла 39F 16 = Х 10 2 балла 39,F 16 = Х 10 2 балла 39,F 16 = Х 10 2 балла Далее

Задание 5: Используя таблицу «Соответствия двоичных триад и цифр восьмеричной системы счисления» и таблицу «Соответствия двоичных тетрад и цифр шестнадцатеричной системы счисления» перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Используя таблицу «Соответствия двоичных триад и цифр восьмеричной системы счисления» и таблицу «Соответствия двоичных тетрад и цифр шестнадцатеричной системы счисления» перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления = Х 16 1 балл = Х 16 1 балл ,1 2 = Х 16 2 балла ,1 2 = Х 16 2 балла = Х 8 1 балл = Х 8 1 балл 10111, = Х 8 2 балла 10111, = Х 8 2 балла Далее

Задание 6: Используя таблицу «Соответствия двоичных триад и цифр восьмеричной системы счисления» и таблицу «Соответствия двоичных тетрад и цифр шестнадцатеричной системы счисления» перевести числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления. Используя таблицу «Соответствия двоичных триад и цифр восьмеричной системы счисления» и таблицу «Соответствия двоичных тетрад и цифр шестнадцатеричной системы счисления» перевести числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления. 46,278 = Х 2 2 балла 46,278 = Х 2 2 балла EF,1216 = Х 2 2 балла EF,1216 = Х 2 2 балла Далее

Задание 7: Перевести целые числа десятичной системы счисления в произвольную систему счисления, указанную в примере. Перевести целые числа десятичной системы счисления в произвольную систему счисления, указанную в примере = Х 3 3 балла = Х 3 3 балла = Х 7 3 балла = Х 7 3 балла = Х 6 3 балла = Х 6 3 балла Далее

Задание 8: Используя развернутую форму записи числа перевести числа из произвольной (указанной в примере) системы счисления в десятичную систему счисления. Используя развернутую форму записи числа перевести числа из произвольной (указанной в примере) системы счисления в десятичную систему счисления = Х 10 3 балла = Х 10 3 балла 32,1 4 = Х 10 3 балла 32,1 4 = Х 10 3 балла 241,31 5 = Х 10 3 балла 241,31 5 = Х 10 3 балла Далее

Задание 9: Используя таблицу «Соответствие чисел различных систем счисления» перевести числа в десятичную систему счисления и выполнить сравнение полученных чисел. Используя таблицу «Соответствие чисел различных систем счисления» перевести числа в десятичную систему счисления и выполнить сравнение полученных чисел. 108 ? А16 1 балл 108 ? А16 1 балл 1516 ? балл 1516 ? балл Содержание