Измерение углов За единицу измерения углов обычно принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла. Считают, что величина этого угла равна одному градусу, обозначают 1 о. Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле. Для измерения величин углов применяют различные инструменты, простейшим из которых является известный вам транспортир.

Астролябия Одним из первых угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом ( гг. до н. э.) и усовершенствованная немецким ученым Региомонтаном ( ). Она состояла из тяжелого медного диска - лимба, который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально и линия Г 1 Г 2 принимала горизонтальное положение. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. Кроме этого, на лимбе имелась полоса А 1 А 2, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечные пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами.

Квадрант Другим инструментом для измерения углов был квадрант, представляющий собой одну четвертую часть астролябии. Квадрант имел то преимущество перед астролябией, что его можно было сделать значительно больших размеров и тем самым увеличить точность измерения углов.

Теодолит Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в настоящее время для выполнения геодезических работ, является теодолит, состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. На вертикальном лимбе имеется зрительная труба, с помощью которой алидады вертикального и горизон- тального лимбов наводятся на объект наблюдения. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Вопрос 1 Что принимается за единицу измерения величины угла? Ответ: За единицу измерения углов принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Вопрос 2 Что такое: а) градус; б) минута; в) секунда? Ответ: а) Одна сто восьмидесятая часть развернутого угла; б) одна шестидесятая часть градуса; в) одна шестидесятая часть минуты.

Вопрос 3 Что показывает градусная величина угла? Ответ: Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.

Вопрос 4 Каким свойствам удовлетворяет градусная величина угла? Ответ: Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам: Свойство 1. Градусные величины равных углов равны. Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.

Упражнение 1 На рисунке найдите величины углов: а) AOB; б) AOC; в) AOD; г) BOC; д) BOD; е) COD. Ответ: а) 60 о ;б) 90 о ;в) 130 о ;г) 30 о ;д) 70 о ;е) 40 о.

Упражнение 2 Найдите величину угла AOB, изображенного на рисунке: а) б) Ответ: а) 120 о ;б) 100 о.

Упражнение 3 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) ~26 о ;б) ~64 о ;в) 135 о.

Упражнение 4 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) 45 о ;б) 90 о ;в) ~117 о.

Упражнение 5 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 60 о. Найдите угол АОС, если он на 30 о больше угла ВОС. Ответ: 45 о.

Упражнение 6 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 45 о. Найдите угол АОС, если он в два раза больше угла ВОС. Ответ: 30 о.

Упражнение 7 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120 о. Найдите угол АОС, если он на 30 о меньше угла ВОС. Ответ: 45 о.

Упражнение 8 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120 о. Найдите угол ВОС, если он в три раза больше угла AОС. Ответ: 90 о.

Упражнение 9 Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов? Ответ: 180 о.

Упражнение 10 Чему равен угол, образованный биссектрисами смежных углов? Ответ: 90 о.

Упражнение 11 Угол AOB равен 38 о. Чему равен смежный с ним угол? Ответ: 142 о.

Упражнение 12 Угол AOB равен 120 о. Чему равен смежный с ним угол? Ответ: 60 о.

Упражнение 13 Один из смежных углов на 45 о меньше другого. Найдите эти углы. Ответ: 67 о 30 и 112 о 30.

Упражнение 14 Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. Ответ: 120 о, 60 o.

Упражнение 15 Ответ: 85 о. Из точки, взятой на прямой в одной полуплоскости относительно нее, проведены два луча, 1 = 45 о, 2 составляет прямого угла. Найдите 3.

Упражнение 16 Ответ: 99 о. На прямой дана точка, из которой в одной полуплоскости относительно данной прямой проведены два луча. Величина одного из углов, образованных при этом, равна прямого угла, величина другого составляет половину первого угла. Найдите величину третьего угла.

Упражнение 17 Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30 о. Чему равны остальные углы? Ответ: 30 о, 150 o, 150 o.

Упражнение 18 Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306 о. Найдите больший из них. Ответ: 126 o.

Упражнение 19 Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 300 о. Найдите меньший из них. Ответ: 60 o.

Упражнение 20 Найдите меньший из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, если сумма двух из этих углов равна 280 о. Ответ: 40 o.

Упражнение 21 Найдите величину суммы углов, изображенных на рисунке. Ответ: 270 o.

Упражнение 22 Найдите величину суммы углов, изображенных на рисунке. Ответ: 90 o.

Упражнение 23 Может ли сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, быть равной 150 о ? Ответ: Нет.

Упражнение 24 Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306 о. Найдите эти углы. Ответ: 126 о, 126 o, 54 o.

Упражнение 25 Общей частью двух углов, величины φ и ψ, является угол, величины γ. Найдите угол, покрываемый обоими данными углами. Ответ: φ +ψ – γ.

Упражнение 26 Колесо имеет восемь спиц. Чему равен угол между соседними спицами? Ответ: 45 о.

Упражнение 27 Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 20 о.

Упражнение 28 Колесо имеет 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 30 о.

Упражнение 29 Колесо имеет 20 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 18 о.

Упражнение 30 Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спицами равны 18 о ? Ответ: 20.

Упражнение 31 Сколько зубцов имеет колесо зубчатой передачи, если дуга окружности этого колеса, заключенная между двумя соседними зубцами, равна 12 о ? Ответ: 30.

Упражнение 32 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 10 мин? Ответ: 60 о.

Упражнение 33 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 5 мин? Ответ: 30 о.

Упражнение 34 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 20 мин? Ответ: 120 о.

Упражнение 35 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 25 мин? Ответ: 150 о.

Упражнение 36 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 45 мин? Ответ: 270 о.

Упражнение 37 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 40 мин? Ответ: 240 о.

Упражнение 38 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 50 мин? Ответ: 300 о.

Упражнение 39 На сколько градусов повернется часовая стрелка за 20 мин? Ответ: 10 о.

Упражнение 40 Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 1 ч 30 мин? Ответ: 135 о.

Упражнение 41 Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 2 ч 20 мин? Ответ: 50 о.

Упражнение 42 Маленькое зубчатое колесо повернулось по часовой стрелке на 360 о. На сколько градусов и в какую сторону повернется сцепленное с ним большое зубчатое колесо? Ответ: 180 о против часовой стрелки.

Упражнение 43 Правое зубчатое колесо повернулось по часовой стрелке на 360 о. На сколько градусов и в какую сторону повернется сцепленное с ним левое зубчатое колесо? Ответ: 540 о по часовой стрелке.

Упражнение 44 На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 8 часов? Ответ: 120 о.

Упражнение 45 За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на 90 о ? Ответ: 6.

Упражнение 46 Для измерения углов артиллеристы употребляют особую единицу, которую называют тысячной. В трехстах шестидесяти градусах содержится 6000 тысячных. Сколько градусов составляют 100 тысячных? Ответ: 6 о.

Упражнение 47 Окружность морских компасов делится на 32 равные части, называемые румбами. Сколько градусов составляют 4 румба? Ответ: 45 о.