Подобие фигур Преобразование плоскости, при котором расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число, называется подобием. Само это число называется коэффициентом подобия. Таким образом, если точки А, В при подобии переходят соответственно в точки A', B', то А'В' = k AB, или, что то же самое, A'B' : AB = k, причем k – одно и то же число для всех точек А, В. Заметим, что при k = 1 подобие является движением. Две фигуры F и F' называются подобными, если одна из них переводится в другую подобием.

Свойства Свойство 1. Подобие переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые. Свойство 2. Подобие сохраняет величины углов.

Гомотетия Зафиксируем точку O и положительное число k. Каждой точке A плоскости, отличной от O сопоставим точку A' на луче OA так, что OA' = kOA. Точке O сопоставим ее саму. Полученное преобразование плоскости называется гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k. Иногда гомотетия рассматривается и с отрицательным коэффициентом k. В этом случае каждой точке A плоскости, отличной от O сопоставляется точка A на луче противоположном OA так, что OA = (–k)OA.

Вопрос 1 Какое преобразование плоскости называется подобием? Ответ: Преобразование плоскости, при котором расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число, называется подобием.

Вопрос 2 Подобны ли равные фигуры? Ответ: Да.

Вопрос 3 Сформулируйте свойства подобия. Ответ: 1. Подобие переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые. 2. Подобие сохраняет величины углов.

Вопрос 4 Какое преобразование плоскости называется гомотетией? Ответ: Гомотетией называется преобразование плоскости, при котором каждой точке A плоскости, отличной от O сопоставляется точка A' на луче OA так, что OA' = kOA. Точке O сопоставляется она сама.

Упражнение 1 Фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом k. С каким коэффициентом фигура F подобна фигуре F'? Ответ: 1/k.

Упражнение 2 Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия. Ответ: Прямая, луч, полуплоскость, угол.

Упражнение 3 Верно ли, что любые два квадрата подобны? Ответ: Да.

Упражнение 4 Верно ли, что любые два прямоугольника подобны? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Верно ли, что любые два прямоугольника подобны? Ответ: Нет.

Упражнение 6 Верно ли, что любые два правильных n- угольника подобны? Ответ: Да.

Упражнение 7 Верно ли, что любые две окружности подобны? Ответ: Да.

Упражнение 8 Верно ли, что если два угла подобны, то они равны? Ответ: Да.

Упражнение 9 Как расположены точки A и A´ относительно центра гомотетии O, если: а) 0 1? Ответ: а) A' лежит между O и A; б) A лежит между O и A'.

Упражнение 10 Существуют ли прямые, которые переводятся гомотетией сами в себя? Ответ: Да, прямые, проходящие через центр гомотетии.

Упражнение 11 Даны точки A, B и гомотетичные им точки A´, B´ соответственно. Можно ли найти центр данной гомотетии? Ответ: Да. Это точка пересечения прямых AA и BB.

Упражнение 12 Как расположены две окружности друг относительно друга, если их центром гомотетии является: а) центр одной из окружностей; б) точка, принадлежащая одной из данных окружностей? Ответ: а) Имеют общий центр; б) касаются внутренним образом.

Упражнение 13 Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, если периметр исходного треугольника равен p. Ответ: p.

Упражнение 14 Ответ: 2,8 см, 4,2 см, 2 см, 8,4 см. Стороны четырехугольника равны 14 см, 21 см, 10 см и 42 см. Найдите стороны подобного ему четырехугольника, если известно, что его меньшая сторона равна 2 см.

Упражнение 15 Ответ: Нет. Подобны ли прямоугольники, образующие рамку картины, сделанной из дощечек одинаковой ширины?

Упражнение 16 Ответ: Нет. Трапеция разделена средней линией на две трапеции. Будут ли они подобны?

Упражнение 17 Докажите, что отрезок EF, соединяющий точки на боковых сторонах трапеции ABCD (AB||CD), проходящий через точку G пересечения диагоналей и параллельный основаниям трапеции, делится в точке G пополам. Доказательство. Треугольники CGF и CAB подобны. Коэффициент подобия k равен отношению высот этих треугольников, проведенных из вершины C. Следовательно, GF = kAB. Треугольники DEG и DAB подобны. Коэффициент подобия равен отношению высот этих треугольников, проведенных из вершины C, т.е. также равен k. Следовательно, EG = kAB. Значит, EG = GF.

Упражнение 18 Докажите, что точка S пересечения боковых сторон трапеции ABCD (AB||CD), точка G пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой. Доказательство. Через точки S и G проведем прямую. Обозначим P, Q ее точки пересечения с основаниями трапеции. Через точку G проведем прямую, параллельную основаниям. Обозначим E, F точки ее пересечения с боковыми сторонами. Тогда, в силу предыдущей задачи, EG = GF. Треугольники SAQ и SBQ подобны треугольникам SEG и SGF с одним и тем же коэффициентом подобия. Из равенства EG=GF следует равенство AQ=BQ. Аналогично, имеем равенство DP=PC.

Упражнение 19 Ответ: а) Равны соответствующие углы; Какие условия должны выполняться, чтобы были подобны: а) два ромба; б) два параллелограмма; в) две равнобедренные трапеции? б) равны соответствующие углы и пропорциональны соответствующие стороны; в) равны соответствующие углы и пропорциональны соответствующие стороны.

Упражнение 20 На рисунке изображен параллелограмм АВСD со сторонами АВ=а, ВС=b, от которого отсечен другой параллелограмм FBCE, подобный данному. Каким должен быть отрезок BF? Ответ:

Упражнение 21 Две хорды окружности пересекаются. Одна из них точкой пересечения делится на отрезки 2 см и 8 см, а другая пополам. Найдите вторую хорду. Ответ: 8 см.

Упражнение 22 Подобны ли: а) любые две параболы; б) любые два эллипса; в) любые две гиперболы? Ответ: а) Да; б) нет; в) нет.

Упражнение 23 Как далеко видна поверхность Земли с самолета, летящего на высоте h = 10 км над Землей (радиус Земли R 6370 км)? Ответ: 357 (км).

Упражнение 24* Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан (центроиде G) треугольника, докажите, что центр описанной окружности O, ортоцентр H, центроид G и центр окружности девяти точек N этого треугольника принадлежат одной прямой (прямая Эйлера). При этом точка N делит отрезок OH пополам, а точка G – в отношении 1:2. Решение дано на следующем слайде.

Решение Гомотетия с центром G и коэффициентом –0,5 переводит вершины A, B, C треугольника соответственно в основания медиан A 1, B 1, C 1. Так как гомотетия сохраняет углы, то высоты треугольника ABC перейдут в высоты треугольника A 1 B 1 C 1, которые являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC. Следовательно, точка H перейдет в точку O и OG:GH = 0,5. Серединный перпендикуляр к хорде C 1 C 2 содержит диаметр окружности Эйлера и пересекает отрезок OH в его середине. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде B 1 B 2 содержит диаметр окружности Эйлера и пересекает отрезок OH в его середине. Следовательно, середина отрезка OH является центром окружности Эйлера.

Упражнение 25* Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 1. Найдите радиус окружности Эйлера. Ответ: 0,5.