Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим,
Advertisements

Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
Признак равнобедренного треугольника Теорема. (Признак равнобедренного треугольника.) Если в треуголь­нике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство.
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
На рисунке угол DBC равен углу DAC, BO = AO. Докажите, что угол C равен углу D. Решение. Треугольник ABO равнобедренный и, следовательно, OAB = OBA. Учитывая.
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются боковыми сторонами,
Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон.
Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого.
Второй признак подобия треугольников Теорема. (Второй признак подобия.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.
Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если.
Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой.
Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник -
Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника…
Материал по геометрии (8 класс) по теме: задачки на доказательство по геометрии
Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника…
Транксрипт:

Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, например, внешний угол ВСD и докажем, что он больше внутреннего угла АВС. Для этого через вершину А и середину Е стороны ВС проведем прямую и отложим на ней отрезок EF, равный АЕ. Треугольники АВЕ и FCЕ равны по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = СE, AE = FE, AEB = FEC). Следовательно, ABC = BCF. Но вершина F лежит внутри угла BCD. Поэтому угол BCF составляет только часть угла BCD. Значит, BCD > ABC.

Теорема 2 В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезок AD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, 1 = 2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому 1 B. Следовательно, имеем C > 1 = 2 > B.

Упражнение 1 Может ли внешний угол треугольника равняться одному из его внутренних углов? Ответ: Да, в прямоугольном треугольнике.

Упражнение 2 Может ли внешний угол треугольника быть меньше одного из его внутреннего углов? Ответ: Да, в тупоугольном треугольнике.

Упражнение 3 Сколько в треугольнике может быть: а) прямых углов; б) тупых углов? Ответ: а), б) Один.

Упражнение 4 Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B.

Упражнение 5 В треугольнике ABC сторона AB наибольшая. Какие углы этого треугольника острые? Каким может быть угол C? Ответ: Углы A и B острые. Угол C может быть острым, прямым или тупым.

Упражнение 6 Докажите, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона? Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол B больше угла A. Сторона AC не может равняться стороне BC, так как в этом случае угол A равнялся бы углу B. Сторона AC не может быть меньше стороны BC, так как в этом случае угол A был бы больше угла B. Следовательно, сторона AC больше стороны BC.

Упражнение 7 На рисунке угол 1 меньше угла 2. Каким соотношением связаны стороны AB и BC треугольника ABC? Ответ: AB > BC.

Упражнение 8 Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) угол A больше угла B, угол B больше угла C; б) угол A больше угла B, угол B равен углу C. б) BC > AB, AC = AB.

Упражнение 9 На рисунке DE

Упражнение 10 Какой вид имеет треугольник, если: а) два его угла равны; б) три его угла равны? Ответ: а) Равнобедренный; б) правильный.

Упражнение 11 На рисунке AB > BC. Докажите, что угол 1 больше угла 2. Ответ: Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то из неравенства AB > BC следует, что угол BAC меньше угла BCA. Значит, для смежных углов выполняется неравенство

Упражнение 12 На рисунке угол 1 больше угла 2. Докажите, что AB > BC. Ответ: Из неравенства следует, что угол BAC меньше угла BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AB > BC.

Упражнение 13 На рисунке угол 1 равен углу 2, CD < AB. Докажите, что угол 3 меньше угла 4. Ответ: На отрезке AB возьмем точку E так, что AE = CD. Треугольники ACD и CAE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол 3 равен углу ACE, который меньше угла 4.

Упражнение 14 На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 меньше угла 4. Докажите, что CD < AB. Ответ: От луча CA в полуплоскости, содержащей точку B, отложим угол, равный углу 3. Точку пересечение его стороны с отрезком AB обозначим E. Треугольники ACD и CAE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, CD = AE < AB.

Упражнение 15 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD < CD. Докажите, что угол C больше угла A. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, угол BAC равен углу BCA. В треугольнике ACD AD > CD, следовательно, угол DCA больше угла DAC. Значит, угол C больше угла A.

Упражнение 16 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, угол С больше угла A. Докажите, что AD < CD. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, угол BAC равен углу BCA. Следовательно, угол DCA больше угла DAC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD.

Упражнение 17 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, AB < BC. Докажите, что угол A больше угла C. Ответ: Проведем диагональ AC. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол DAC больше угла DCA, угол BAC больше угла BCA. Значит, в четырехугольнике ABCD угол A больше угла C.

Упражнение 18 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, угол A больше угла C. Докажите, что AB < BC. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Следовательно, угол BAC равен углу DAC, угол BCA равен углу DCA. Так как угол A четырехугольника ABCD больше угла C, то угол BAC больше угла BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB < BC.

Упражнение 19 Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, AC > AB, CD = BD. Докажите, что угол ACD меньше угла ABD. Ответ: Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол ACB меньше угла ABC. Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACD меньше угла ABD.

Упражнение 20 Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, CD = BD, угол ACD меньше угла ABD. Докажите, что AC > AB. Ответ: Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACB меньше угла ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.

Упражнение 21 Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, AB > BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC меньше угла DEC. Ответ: Так как AB > BC, то угол BAC меньше угла BCA. Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, угол BAC меньше угла DEC.

Упражнение 22 Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, CD = DE, угол BAC меньше угла DEC. Докажите, что AB > BC. Ответ: Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Так как угол BAC меньше угла DEC, то угол BAC меньше угла BCA. Значит, угол AB > BC.

Упражнение 21* В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Докажите, что угол BCD больше угла ACD. Решение. Отложим на продолжении медианы CD отрезок DE, равный отрезку CD. Треугольники BCD и AED равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BC = AE и угол BCD равен углу AED. В треугольнике ACE сторона AC больше стороны AE, следовательно, угол E больше угла С. Значит, угол BCD больше угла ACD.

Упражнение 22* В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – биссектриса. Докажите, что AD больше BD. Решение. В силу предыдущей задачи, для медианы CM угол ACM меньше угла BCM. Следовательно, медиана CM лежит внутри угла ACD. Значит, AD > BD.