Полувписанная сфера Сфера называется полувписанной в многогранник, если она касается всех его ребер. Центром полувписанной сферы является точка, равноудаленная от всех ребер многогранника. Ясно, что если у многогранника существует полувписанная сфера, то в каждую его грань можно вписать окружность. Причем, окружности, вписанные в соседние грани касаются общего ребра в одной и той же точке.

Упражнение 1 Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в единичный куб. Решение. Центром полувписанной сферы будет центр O куба. Радиус R равен расстоянию от центра O до ребра куба, т.е.

Упражнение 2 Существует ли полувписанная сфера у прямоугольного параллелепипеда? Ответ: Существует только в случае, если прямоугольный параллелепипед - куб.

Упражнение 3 Докажите, что из треугольных призм полувписанная сфера может быть только у правильной треугольной призмы, у которой боковые ребра равны стороне основания. Доказательство. Если у треугольной призмы существует полувписанная сфера, то в каждую ее боковую грань можно вписать окружность и, следовательно, боковые грани – ромбы. Кроме того, так как плоскости, содержащие основания, пересекают полувписанную сферу по равным окружностям, то боковые ребра перпендикулярны этим плоскостям и, значит, боковые грани – квадраты. Таким образом, полувписанная сфера может быть только у правильной треугольной призмы, у которой боковые ребра равны стороне основания.

Упражнение 4 Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в правильную треугольную призму с ребрами, равными a. Решение. Обозначим Q середину отрезка OO 1, соединяющего центры оснований. Эта точка является центром описанной около призмы сферы. Равнобедренные треугольники с вершиной в точке Q, основаниями которых служат ребра призмы, равны и, следовательно, равны расстоянию от точки Q до этих ребер, т.е. Q является центром полувписанной сферы. В треугольнике AQA 1 высота QH равна отрезку OA и равна. Следовательно, искомый радиус полувписанной сферы равен.

Упражнение 5 Докажите, что из четырехугольных призм полувписанная сфера может быть только у куба. Решение. Если у четырехугольной призмы существует полувписанная сфера, то в каждую ее боковую грань можно вписать окружность и, следовательно, боковые грани – ромбы. Кроме того, так как плоскости, содержащие основания, пересекают полувписанную сферу по равным окружностям, то боковые ребра, перпендикулярны основаниям и, значит, боковые грани – квадраты. Таким образом, полувписанная сфера может быть только у правильной четырехугольной призмы, у которой боковые ребра равны стороне основания, т.е. у куба.

Упражнение 6 Существует ли полувписанная сфера у наклонного параллелепипеда, все грани которого ромбы? Ответ: Нет.

Упражнение 7 Докажите, что из шестиугольных призм полувписанная сфера может быть только у правильной шестиугольной призмы, у которой боковые ребра равны стороне основания. Решение. Если у шестиугольной призмы существует полувписанная сфера, то в каждую ее боковую грань можно вписать окружность и, следовательно, боковые грани – ромбы. Кроме того, так как плоскости, содержащие основания, пересекают полувписанную сферу по равным окружностям, то боковые ребра перпендикулярны этим плоскостям и, значит, боковые грани – квадраты. Таким образом, полувписанная сфера может быть только у правильной шестиугольной призмы, у которой боковые ребра равны стороне основания.

Упражнение 8 Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в правильную шестиугольную призму с ребрами, равными a. Решение. Обозначим Q середину отрезка, соединяющего центры O, O 1 оснований призмы. Ясно, что расстояние от Q до ребер призмы равно a. Таким образом, Q –центр, а a – радиус искомой полувписанной сферы.

Сфера, полувписанная в тетраэдр

Упражнение 1 Докажите, что если у тетраэдра существует полувписанная сфера, то суммы его противоположных ребер равны. Доказательство. Пусть у тетраэдра ABCD существует полувписанная сфера. Обозначим через a, b, c и d расстояния от соответствующих вершин тетраэдра до точек касания. Тогда AB = a + b, CD = c + d. Следовательно, AB + CD = a + b + c + d. Аналогично, AC + BD = a + b + c + d, AD + BC = a + b + c + d. Таким образом, суммы противоположных ребер тетраэдра равны.

Упражнение 2 Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в правильный тетраэдр с ребром 1. Решение. Пусть O – центр описанной сферы правильного тетраэдра ABCD с ребром 1. Воспользуемся тем, что радиус описанной сферы равен. Треугольник AOD равнобедренный, AD = 1, AO = OD =. Высота OH этого треугольника равна расстоянию от точки O до ребра AD. По теореме Пифагора находим OH =. Из равенства равнобедренных треугольников с вершиной O, основаниями которых служат ребра тетраэдра, следует, что расстояния от точки O до всех ребер тетраэдра равны, т.е. точка O является центром полувписанной сферы, а ее радиус равен.

Упражнение 3 Приведите пример треугольной пирамиды, для которой не существует полувписанной сферы. Решение. Рассмотрим тетраэдр, у которого одно ребро равно 1, а все остальные ребра равны 2. Для него не выполняется условие, указанное в упражнении 1. Следовательно, для этого тетраэдра не существует полувписанной сферы.

Упражнение 4 Найдите радиус сферы, полувписанной в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1. Решение. Пусть O – центр основания призмы. Расстояния от O до ребер призмы равны 0,5. Следовательно, радиус полувписанной сферы равен 0,5. Ответ: R = 0,5.

Упражнение 5 Докажите, что если для четырехугольной пирамиды существует полувписанная сфера, то суммы противоположных сторон ее основания равны. Решение. Если сфера полувписана в четырехугольную пирамиду, то у четырехугольника, лежащего в основании этой пирамиды, существует вписанная окружность. Следовательно, суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.

Упражнение 6 Докажите, что если для четырехугольной пирамиды SABCD существует полувписанная сфера, то выполняются следующие равенства: SA + BC = AB + SC, SB + CD = BC + SD, SC + AD = CD + SA, SD + AB = AD + SB. Решение. Пусть у пирамиды SABCD существует полувписанная сфера. Обозначим через a, b, c, d и s расстояния от соответствующих вершин пирамиды до точек касания. Тогда SA = a + s, BC = b + c. Значит, SA + BC = a + b + c + s. Аналогично, AB + SC = a + b + c + s. Следовательно, выполняется равенство SA + BC = AB + SC. Таким же образом доказывается выполнимость и других указанных равенств.

Упражнение 7 Приведите пример четырехугольной пирамиды, для которой не существует полувписанной сферы. Решение. Рассмотрим, например, четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит прямоугольник, отличный от квадрата, и все боковые ребра равны. Поскольку в прямоугольник нельзя вписать окружность, то у данной пирамиды не существует полувписанной сферы.

Сфера, полувписанная в октаэдр

Упражнение Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в октаэдр с ребром 1. Решение. Пусть O – центр описанной сферы единичного октаэдра. Расстояние от O до ребер октаэдра равны и равны половине ребра, т.е. O будет центром полувписанной сферы, радиус которой равен 0,5.

Сфера, полувписанная в икосаэдр

Упражнение Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в икосаэдр с ребром 1. Решение. Обозначим O центр описанной сферы. Расстояния от O до ребер икосаэдра равны половине диагонали AC правильного пятиугольника ABCDE со стороной 1. Учитывая, что эта диагональ равна, получаем, что радиус полувписанной сферы с центром O равен.

Сфера, полувписанная в додекаэдр

Упражнение Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в додекаэдр с ребром 1. Решение. Обозначим O центр описанной сферы. Расстояния от O до ребер додекаэдра равны OH и равны половине диагонали AD правильного пятиугольника ABCDE, сторона которого равна. Следовательно, радиус полувписанной сферы с центром O равен

Сфера, полувписанная в ромбододекаэдр Ромбододекаэдром называется многогранник, гранями которого являются двенадцать ромбов. Для получения ромбододекаэдра возьмем два одинаковых куба. Разобьем один из них на шесть равных 4-х угольных пирамид с вершинами в центре куба. Приложим эти пирамиды основаниями к граням второго куба. Образовавшийся многогранник будет ромбододекаэдром.

Упражнение Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в ромбододекаэдр с ребром 1. Решение. Обозначим O центр куба, вписанного в ромбододекаэдр. Ребро куба будет равно Расстояния от точки O до ребер ромбододекаэдра равны высоте OH треугольника OAB, в котором OB = OA = AB = 1, Отрезок AC перпендикулярен OB и равен Откуда OH = Следовательно, искомый радиус полувписанной сферы равен

Сфера, полувписанная в усеченный тетраэдр Радиус сферы, полувписанной в усеченный тетраэдр, равен радиусу сферы, полувписанной в соответствующий тетраэдр.

Упражнение На рисунке изображен усеченный тетраэдр, получаемый отсечением от углов правильного тетраэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный тетраэдр, ребра которого равны 1. Решение. Радиус полувписанной сферы для единичного усеченного тетраэдра равен радиусу полувписанной сферы соответствующего тетраэдра, ребра которого равны 3. Следовательно, для искомого радиуса R имеем

Сфера, полувписанная в усеченный куб Радиус сферы, полувписанной в усеченный куб, равен радиусу сферы, полувписанной в соответствующий куб.

Упражнение На рисунке изображен усеченный куб, получаемый отсечением от углов куба треугольных пирамид, гранями которого являются правильные восьмиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный куб, ребра которого равны 1. Решение. Радиус полувписанной сферы для единичного усеченного куба равен радиусу полувписанной сферы соответствующего куба, ребра которого равны Следовательно, для искомого радиуса R имеем

Сфера, полувписанная в усеченный октаэдр Радиус сферы, полувписанной в усеченный октаэдр, равен радиусу сферы, полувписанной в соответствующий октаэдр.

Упражнение На рисунке изображен усеченный октаэдр, получаемый отсечением от углов октаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный октаэдр, ребра которого равны 1. Решение. Радиус полувписанной сферы для единичного усеченного октаэдра равен радиусу полувписанной сферы соответствующего октаэдра, ребра которого равны 3. Следовательно, для искомого радиуса R имеем

Сфера, полувписанная в усеченный икосаэдр Радиус сферы, полувписанной в усеченный икосаэдр, равен радиусу сферы, полувписанной в соответствующий икосаэдр.

Упражнение На рисунке изображен усеченный икосаэдр, получаемый отсечением от углов икосаэдра пятиугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и пятиугольники. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный икосаэдр, ребра которого равны 1. Решение. Радиус полувписанной сферы для единичного усеченного икосаэдра равен радиусу полувписанной сферы соответствующего икосаэдра, ребра которого равны 3. Следовательно, для искомого радиуса R имеем

Сфера, полувписанная в усеченный додекаэдр Радиус сферы, полувписанной в усеченный додекаэдр, равен радиусу сферы, полувписанной в соответствующий додекаэдр.

Упражнение На рисунке изображен усеченный додекаэдр, получаемый отсечением от углов додекаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные десятиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный додекаэдр, ребра которого равны 1. Решение. Радиус полувписанной сферы для единичного усеченного додекаэдра равен радиусу полувписанной сферы соответствующего додекаэдра, ребра которого равны Следовательно, для искомого радиуса R имеем

Сфера, полувписанная в кубооктаэдр Радиус сферы, полувписанной в кубооктаэдр, равен ребру кубооктаэдра.

Упражнение На рисунке изображен кубооктаэдр – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов (как у куба) и восемь треугольников (как у октаэдра). Найдите радиус полувписанной сферы. Решение. Напомним, что кубооктаэдр получается из куба отсечением правильных треугольных пирамид с вершинами в вершинах куба и боковыми ребрами, равными половине ребра куба. Если ребро кубоктаэдра равно 1, то ребро соответствующего куба равно В треугольнике AOB все стороны равны 1, а его высота равна радиусу R полувписанной сферы. Следовательно,

Сфера, полувписанная в икосододекаэдр

Сфера, полувписанная в усеченный кубооктаэдр

Сфера, полувписанная в усеченный икосододекаэдр

Сфера, полувписанная в ромбокубооктаэдр

Сфера, полувписанная в ромбоикосододекаэдр

Сфера, полувписанная в курносый куб

Сфера, полувписанная в курносый додекаэдр