БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математическй факультет Кафедра дифференциальных уравнений Кушнер Анна Андреевна Условия существования центра для одного класса кубических систем для одного класса кубических систем дифференциальных уравнений. дифференциальных уравнений. Магистерская диссертация Минск2008

РУКОВОДИТЕЛЬ: профессор, доктор физ.-мат. наук Садовский Антон Павлович РЕЦЕНЗЕНТ: профессор, доктор физ.-мат. наук Громак Валерий Иванович

АКТУАЛЬНОСТЬ. Аналитические системы дифференциальных уравнений на плоскости описывают многие задачи физики, механики, техники, химии, биологии и других областей. Решение таких дифференциальных уравнений в квадратурах охватывает лишь некоторые классы уравнений. Поэтому важное значение имеют методы исследования решений по виду их правых частей без нахождения самих решений. Важнейшим направлением в теории дифференциальных уравнений, занимающимся разработкой этих методов, является качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости.

ПОСТАВЛЕННЫЕ ЦЕЛИ. Качественное исследование кубических систем Качественное исследование кубических систем полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости; Разрешение проблемы центра и фокуса для кубических Разрешение проблемы центра и фокуса для кубических систем полиномиальных дифференциальных уравнений.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. Необходимые и достаточные условия, при которых начало координат является центром для заданной кубической системы полиномиальных дифференциальных уравнений.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где, - однородные многочлены степени k относительно х,у. Если корни уравнения чисто мнимые, то исходная система является центром или фокусом. При выполнении данных условий исходную систему можно записать в виде:

ПЕРВЫЙ МЕТОД. Этот метод был предложен Пуанкаре и Ляпуновым и состоит в переходе к полярным координатам: В результате подстановки, исключая время, получаем дифференциальное уравнение

Решение можно найти в виде ряда по степеням произвольной постоянной с: Если среди коэффициентов имеются непериодические, то первый такой коэффициент имеет вид: где, - периодическая функция. Начало координат в этом случае является фокусом. Если же все - периодические функции, то начало координат - центр. Если среди функций имеются непериодические, то проблема может быть разрешена за конечное число шагов.

ВТОРОЙ МЕТОД. Необходимо найти функцию где - однородные полиномы k-й степени, для которой в силу исходной системы имеем: Такая функция всегда существует. Величины называются фокусными величинами системы. Таким образом, особая точка системы является центром тогда и только тогда, когда все,

РЕЗУЛЬТАТЫ. Разработана и протестирована прикладная программа Разработана и протестирована прикладная программа вычисления фокусных величин; Посчитаны фокусные величины исходной системы; Посчитаны фокусные величины исходной системы; Определены условия на коэффициенты исходной системы, Определены условия на коэффициенты исходной системы, при которых начало координат является центром этой системы; Сформулированы необходимые и достаточные условия Сформулированы необходимые и достаточные условия наличия центра для класса кубических систем дифференциальных уравнений.

НОВИЗНА. Усовершенствованы алгоритмы нахождения Усовершенствованы алгоритмы нахождения фокусных величин; Получены новые и имеющие большое научное Получены новые и имеющие большое научное значение результаты в качественной теории дифференциальных уравнений.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!