БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра уравнений математической физики Мотевич Антон Викторович ЗАДАЧА ГУРСА. - презентация

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра уравнений математической физики Мотевич Антон Викторович ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ Кандидатская диссертация Руководитель: профессор кафедры уравнений математической физики, доктор физ.-мат. наук ЛОМОВЦЕВ Федор Егорович Минск, 2010 Выход

2 СОДЕРЖАНИЕ АКТУАЛЬНОСТЬ ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Выход

3 АКТУАЛЬНОСТЬ Математической моделью многих физических процессов являются гиперболические дифференциально-операторные уравнения второго порядка. Вопрос устойчивости этих процессов сводится к исследование о корректной разрешимости соответствующего уравнения при заданных начальных и граничных условиях. Выход

4 ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: Обобщение известного метода сглаживающих операторов для исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения на двумерные гиперболические дифференциально-операторные уравнения Доказательство существования, единственности и устойчивости сильных решений задачи Гурса для дифференциально- операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения операторов Выход

5 ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Двумерные гиперболические дифференциально-операторные уравнения с переменными областями определения Выход

6 ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Корректность задачи Гурса для двумерных гиперболических дифференциально- операторных уравнений с переменными областями определения операторных коэффициентов Выход

7 Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой. На ограниченном прямоугольнике рассматривается дифференциальное уравнение где и функции переменной t со значениями в Н, и – линейные самосопряженные неограниченные операторы в Н с зависящими от t соответственно областями определения и НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА: Выход

8 Предполагаем, что операторы удовлетворяют условиям При каждом t для операторов выполняется оценка 2. Обратные операторы операторов сильно непрерывны по t в Н и при всех t имеют в Н сильную частную производную, которая удовлетворяет неравенству 3. При всех операторы подчинены квадратному корню операторов и имеет место оценка Выход

9 4. При всех t для операторов выполняются неравенства 5. Существует постоянная такая, что 6. При почти всех t существует ограниченная сильная смешанная производная, удовлетворяющая неравенству. Выход

10 НАУЧНАЯ НОВИЗНА: Усовершенствованы технические приемы исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения Получены новые и имеющие большое научное значение результаты в теории дифференциально- операторных уравнений Выход

11 ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО Теорема 1. Если выполняются условия 1 -3 и множество плотно в, то имеет место следующее неравенство Выход ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

12 ТЕОРЕМА CУЩЕСТВОВАНИЯ Теорема 2. Если выполняются условия предыдущей теоремы и предположения 4 - 6, то для каждого сильное решение поставленной задачи Гурса существует, единственно и Выход

13 В области переменных x и t рассматривается гиперболическое уравнение в частных производных с переменными по времени граничными условиями и однородными начальными условиями Выход

14 Здесь коэффициенты уравнения,, и граничных условий Выход

15 Теорема 3. Если коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют указанным выше требованиям, то для любой функции поставленная начально-краевая задача имеет единственное сильное решение, для которого справедлива оценка Выход

16 ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ: Доказательство теорем существования, единственности и устойчивости сильных решений задачи Гурса для двумерных дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения операторов Выход

17 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Выход