Равносоставленность Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разрезаны на одинаковое число попарно равных фигур. Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. Теорема. Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Для многоугольников верно и обратное, а именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 1 Две фигуры, равносоставленые с одной и той же фигурой, равносоставлены. Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф'' равносоставлены с фигурой Ф. Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф''. Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф''. Таким образом, фигуры Ф' и Ф'' равносоставлены.

Теорема 2 Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены. Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма, у которых есть равные стороны. По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты, проведенные к равным сторонам. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных фигур, т.е. они равносоставлены.

Теорема 2 (продолжение) Пусть теперь равновеликие параллелограммы не имеют равных сторон. Построим третий параллелограмм, имеющий одну сторону и высоту, равные соответственно одной стороне и высоте первого параллелограмма. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм будет равновелик и с первым, и со вторым параллелограммами, и с каждым из них будет иметь по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым. В силу теоремы 1 первый и второй параллелограммы равносоставлены.

Теорема 3 Любые два равновеликих треугольника равносоставлены. Доказательство. Каждый треугольник продолжением средней линии преобразуется в равновеликий ему параллелограмм. Поэтому два равновеликих треугольника преобразуются в два равновеликих параллелограмма. В силу теоремы 2 эти параллелограммы равносоставлены и, следовательно, равносоставлены исходные треугольники.

Теорема 4 Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником. Доказательство. Рассмотрим многоугольник ABCDE…, и одну из его вершин, например C, перенесем параллельно диагонали BD на продолжение стороны DE. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон на единицу меньшим. Имея в виду, что мы заменили один треугольник другим - равновеликим, а остальная часть многоугольника осталась неизменной, получим, что новый многоугольник будет равносоставлен с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Теорема (основная) Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Доказательство. Пусть М' и М'' - равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т'', соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М''.

Теорема Пифагора Теорема. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. На языке площадей теорему Пифагора можно переформулировать в следующем виде. Доказательство представлено на рисунке.

Упражнение 1 Параллелограмм разрежьте на две части, из которых можно сложить прямоугольник. Решение показано на рисунке.

Упражнение 2 Треугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить параллелограмм. Решение показано на рисунке.

Упражнение 3 Треугольник разрежьте на три части, из которых можно составить прямоугольник. Решение показано на рисунке.

Упражнение 4 Трапецию разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник. Решение показано на рисунке.

Упражнение 5 Трапецию разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник. Решение показано на рисунке.

Упражнение 6 Параллелограмм (рисунок слева) разрежьте на несколько частей и сложите из них параллелограмм, зеркально симметричный данному (рисунок справа). Переворачивать части (использовать осевую симметрию) нельзя. Решение показано на рисунке.

Упражнение 7 Неравнобедренную трапецию (рисунок слева) разрежьте на несколько частей и сложите из них трапецию, зеркально симметричную данной (рисунок справа). Переворачивать части (использовать осевую симметрию) нельзя. Решение показано на рисунке.

Упражнение 8 Разносторонний треугольник (рисунок слева) разрежьте на несколько частей и сложите из них треугольник, зеркально симметричный данному (рисунок справа). Переворачивать части (использовать осевую симметрию) нельзя. Решение показано на рисунке.

Упражнение 9 Правильный шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм. Решение показано на рисунке.

Упражнение 10 Используя разрезания, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей. Решение показано на рисунке.

Упражнение 11 Разрежьте квадрат на шесть квадратов. Решение показано на рисунке.

Упражнение 12 Разрежьте квадрат на семь квадратов. Решение показано на рисунке.

Упражнение 13 Разрежьте квадрат на восемь квадратов. Решение показано на рисунке.

Упражнение 14 Разрежьте трапецию на четыре равные трапеции. Решение показано на рисунке.

Упражнение 15 Разрежьте закрашенную фигуру на четыре равные части. Решение показано на рисунке.

Упражнение 16 Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы в каждой из них была звездочка. Решение показано на рисунке.

Упражнение 17 Многоугольник разрежьте на четыре равные части. Решение показано на рисунке.

Упражнение 18 Прямоугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 19 Восьмиугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 20 Шестиугольник, изображенный на рисунке, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 21 Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 22 Греческий крест разрежьте на несколько частей и составьте из них квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 23 Греческий крест разрежьте по двум прямым и из полученных частей составьте квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 24 Решение показано на рисунке. Один из двух равных квадратов разрежьте на несколько частей и составьте из них и другого квадрата квадрат.

Упражнение 25 Один из двух неравных квадратов разрежьте на несколько частей и составьте из них и другого квадрата квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 26 Квадраты 6х6 и 8х8 разрежьте на части по линиям сетки (не разрезая квадратиков сетки) и составьте из них квадрат 10х10. Решение показано на рисунке.

Упражнение 27 Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на семь частей, из которых можно сложить квадрат. Решение показано на рисунке.

Упражнение 28 Две фигуры, ограниченные дугами окружностей по 90 о каждая, разрежьте на части и составьте из них круг. Решение показано на рисунке.

Упражнение 29* Стороны АВ и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и ВС - на m равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рисунке, где n = 3, m = 4. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов? Ответ:.