Выполнили: Мамонова Алина и Матерухина Ирина Ученицы МОУ СОШ 3, 8 «Б» класса Руководитель: Тюрина Т.В.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота-красота-значимость. Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций. Во времена Пифагора его теорема была сформулирована иначе, она звучала так: «Доказать что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».

Теорема написана научным языком, и является труднодоступной человеку, поэтому мы хотели бы с помощью своей работы: доступнее объяснить теорему; показать её значение в развитие науки и техники многих стран и народов мира.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням.. По многим свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.Будучи признанным

мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения.. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору

свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все. Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона.Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он

удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Спустя 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Так великий учёный Михайло Ломоносов писал: Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Так великий учёный Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс на жертву сто волов.Но ежел бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских и древнекитайских рукописей показало, что это рукописей показало, что это утверждение было известно утверждение было известно задолго до Пифагора, задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия Вавилонская возможно, за тысячелетия Вавилонская до него. Заслуга же Пифагора таблица до него. Заслуга же Пифагора таблица состояла в том, что он открыл состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. доказательство этой теоремы.Древнекитайскаярукопись

Предположение о том, что Предположение о том, что теорема была известна теорема была известна ещё издавна находит подтвержде- ещё издавна находит подтвержде- ние в древнем Китае в математической книге ние в древнем Китае в математической книге Чу-пей, а также в тракте «Чжоу-би суань цзинь». Чу-пей, а также в тракте «Чжоу-би суань цзинь». «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вави- лонян. В одном тексте, отно- симом к времени Хаммурапи, то есть к 2000 г. до н.э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н.э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическотеологическом тракте VII-V вв. до н.э. «Сульва сутра» ( « Правила верёвки»). Несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно связано с теоремой Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum-ослиный мост, или elefuga-бегство «убогих». Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли её «ветряная мельница», составляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из светлых и тёмных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей. При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей. На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь

прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор. прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. На рис. 3 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. На рис. 3 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CÎEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CÎEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

На рис. 4 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах. На рис. 4 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. Рис. 5 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая; Рис. 5 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая; KLOA = ACPF = ACED = a2; KLOA = ACPF = ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; отсюда c2 = a2 + b2. отсюда c2 = a2 + b2.

Рис. 6 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь: Рис. 6 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь: OCLP = ACLF = ACED = b2; OCLP = ACLF = ACED = b2; CBML = CBNQ = a2; CBML = CBNQ = a2; OBMP = ABMF = c2; OBMP = ABMF = c2; OBMP = OCLP + CBML; OBMP = OCLP + CBML; отсюда c2 = a2 + b2. отсюда c2 = a2 + b2.

Рис. 7 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим Рис. 7 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

Рис. 8 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Историки считают, что Басхара выражал площадь с квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырёх треугольников 4 (ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору. На рис.9 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM^AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что DABC подобен DACM следует b2 = cb1; (1) из того, что DABC подобен DBCM следует a2 = ca1. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Доказательство Мёльманна (рис. 10). Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна 0,5x a x b, с другой 0,5x p x r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5x(a+b-c)). Имеем: 0,5x a x b-0,5x p x r- 0,5x(a+b+c)x0,5x(a+b-c) откуда следует, что c2=a2+b2.

Доказательство Гарфилда. На рисунке 11 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5x(a+b)x(a+b), во втором-0,5x a x b + 0,5x a x b + 0,5 x c квадрат. Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 12 –19). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

Древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников. Рис.21

Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 22) связаны соотношением c2 = a2 + b2. (3) Докажем, что этот треугольник прямоугольный. Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: c12 = a2 + b2. (4) Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что c12 = c2, или c1 = c. Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Доказательство Энштейна (рис. 24) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

На основе доказательства ан- Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры ( рис.25, здесь АВС- прямоугольный треугольник с прямым углом С). Также это доказательство называется «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются.

Ещё одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис.26. Здесь: АВС-прямоугольный треугольник с прямым углом С; О- центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырёхугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом.

В течение двух тысячелетий применяли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опускал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на 2 прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» главное из сохранившихся математико - астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис.27),доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно.

В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис.29). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 30 ), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с 2, а с другой а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2.

Теорема доказана.Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис.31), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2.

На рисунке 32 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу- би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис.33) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!».

Как видим, прямоугольньные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло невесты» а2-b2 (рис.34). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII --V вв. до н.э.).

Багдадский математик и астроном X века ан-Найризий (латинизированное имя Аннариций в арабском комментарии к «Началам» Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах (рис.35). Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений».

Теорема Пифагора-это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Но ещё раньше с её помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звёзды.

Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону. Решая эту задачу, нам приходиться по известному квадрату положительного числа находить само это число. Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка, не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше-в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

Ещё в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Построение прямых углов египтянами. Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

Задача индийского математика ХII века Басхары На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол обломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?

Задача из первого учебника математики на Руси «Арифметика»: Случися некоему человеку к стене лествницу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти импать.

Выполняя эту работу, мы узнали много нового о теореме Пифагора, познакомились с различными вариантам её доказательства, также узнали о биографии Пифагора, историю открытия теоремы. Было очень интересно работать над этим проектом, тем более, что трудностей у нас почти не возникло.