Математическая Логика Комбинаторика и Алгебра высказываний.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА – это дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА – это дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

Вообще, всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно - бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков... А от политики предпочтительно держаться подальше... Математическая логика понятие тоже Вообще, всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно - бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков... А от политики предпочтительно держаться подальше... Математическая логика понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них. достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них.

Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что "логичность" рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило, используем разные логики и разные методы логических рассуждений. Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, "Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня" и "Поспешишь людей насмешишь". Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом). Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что "логичность" рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило, используем разные логики и разные методы логических рассуждений. Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, "Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня" и "Поспешишь людей насмешишь". Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду Прежде всего, классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому Прежде всего, классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и, наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. (Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин исследование логикой смысла, и, наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. (Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин "логическая наука" не возьмемся даже приблизительно). "логическая наука" не возьмемся даже приблизительно).

Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) объекта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными! интерпретация (отображение!) объекта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и детонационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики... теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и детонационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики... Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике - это это она определяет предельно строго). Главное в логике - это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть в значительной степени автоматическими. строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть в значительной степени автоматическими. Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл! Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!

Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. ( Или, как говорит о. Алексей Емельянов, это - богословская спекуляция) Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. ( Или, как говорит о. Алексей Емельянов, это - богословская спекуляция) НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще! Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать коробочке сложится последовательность от 1 до 15. что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще! Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, исходя из здравого смысла, правильные перемещения фишек, ему, исходя из здравого смысла, правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА КОМБИНАТОРИКА

КОМБИНАТОРИКА – это раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Размещения соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Размещения соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их

Сочетания соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их Сочетания соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Ситуация которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают.

Под ВЫСКАЗЫВАНИЕМ понимают повествовательное предложение, Под ВЫСКАЗЫВАНИЕМ понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Например, "Волга впадает в Каспийское море", "Квадрат гипотенузы Например, "Волга впадает в Каспийское море", "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов", "Наполеон родился в Кудымкаре". равен сумме квадратов катетов", "Наполеон родился в Кудымкаре". Здесь два первых высказывания истинны, а третье - ложно. Здесь два первых высказывания истинны, а третье - ложно. Разумеется, жизнь и тут иногда создает проблемы. Так, про Разумеется, жизнь и тут иногда создает проблемы. Так, про высказывание насчет Волги можно сказать, что оно истинное, если высказывание насчет Волги можно сказать, что оно истинное, если ЗНАТЬ этот факт из географии. Мне, например, пришлось как-то в ЗНАТЬ этот факт из географии. Мне, например, пришлось как-то в университете рассказывать одному студенту, что далеко от США есть университете рассказывать одному студенту, что далеко от США есть такая большая река - Волга... Да и про квадрат гипотенузы не все такая большая река - Волга... Да и про квадрат гипотенузы не все могут высказаться определенно... Или еще проще, чтобы не утонуть в несущественных для данного обсуждения мелочах, будем считать могут высказаться определенно... Или еще проще, чтобы не утонуть в несущественных для данного обсуждения мелочах, будем считать высказываниями повествовательные предложения, истинность которых высказываниями повествовательные предложения, истинность которых может установить "высший разум". может установить "высший разум".

Но этим проблема не исчерпывается. Повествовательное Но этим проблема не исчерпывается. Повествовательное предложение "Я лгу" не является высказыванием, поскольку если оно истинно (то есть я действительно лгу) - значит я не лгу, а говорю правду! И наоборот... Это пример ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА. предложение "Я лгу" не является высказыванием, поскольку если оно истинно (то есть я действительно лгу) - значит я не лгу, а говорю правду! И наоборот... Это пример ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА. Логические парадоксы не относятся к высказываниям. К Логические парадоксы не относятся к высказываниям. К высказываниям не относятся также вопросительные и восклицательные (т.е. неповествовательные) предложения и определения. Говорить об истинности или ложности определений бессмысленно. Определение есть соглашение о названии. Например, "Назовем эту музыку высказываниям не относятся также вопросительные и восклицательные (т.е. неповествовательные) предложения и определения. Говорить об истинности или ложности определений бессмысленно. Определение есть соглашение о названии. Например, "Назовем эту музыку гимном". И все тут!.. гимном". И все тут!..

Для того, чтобы не писать "истина" и "ложь" ("true" и Для того, чтобы не писать "истина" и "ложь" ("true" и "false") часто используют лишь начальные буквы этих слов. А еще "false") часто используют лишь начальные буквы этих слов. А еще чаще просто "1" и "0". чаще просто "1" и "0". А теперь вернемся к самому существенному. Логика А теперь вернемся к самому существенному. Логика высказываний не занимается (и даже не интересуется) СМЫСЛОМ высказываний не занимается (и даже не интересуется) СМЫСЛОМ высказываний. Так что в этом смысле логику можно считать высказываний. Так что в этом смысле логику можно считать БЕССМЫСЛИЦЕЙ! Один из логиков-классиков уподобил алгебру логики БЕССМЫСЛИЦЕЙ! Один из логиков-классиков уподобил алгебру логики рентгену, который, просвечивая высказывание, оставляет математику рентгену, который, просвечивая высказывание, оставляет математику для рассмотрения только его истинность. для рассмотрения только его истинность. В алгебре высказываний можно обойтись двумя-тремя В алгебре высказываний можно обойтись двумя-тремя операциями, хотя обычно рассматривают больше. операциями, хотя обычно рассматривают больше.

Операцию ДИЗЪЮНКЦИЯ называют еще "логическим или". Если два Операцию ДИЗЪЮНКЦИЯ называют еще "логическим или". Если два высказывания соединить дизъюнкцией, то получится сложное высказывания соединить дизъюнкцией, то получится сложное высказывание, которое истинно, если истинно хотя бы одно из высказывание, которое истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний. То есть следует уточнить, что это входящих в него высказываний. То есть следует уточнить, что это "неисключающее или". Например, "Мы любим пиво или мы любим мороженое" истинное сложное высказывание, поскольку хотя бы одно из входящих в него элементарных высказываний истинно. А возможно, и оба. Представить же себе живое существо, которое не любит и пиво, и мороженое, не позволяет фантазия. "неисключающее или". Например, "Мы любим пиво или мы любим мороженое" истинное сложное высказывание, поскольку хотя бы одно из входящих в него элементарных высказываний истинно. А возможно, и оба. Представить же себе живое существо, которое не любит и пиво, и мороженое, не позволяет фантазия.

Операцию КОНЪЮНКЦИЯ называют еще "логическим и". Сложное высказывание будет истинно, если истинны оба входящих в него высказывания. О Операция ОТРИЦАНИЕ - "логическое не" - истинное высказывание превращает в ложное и наоборот. П Пожалуй, самая интригующая операция - это ИМПЛИКАЦИЯ или "логическое если..., то". Например, "Если Наполеон родился в Кудымкаре, то газ при нагревании сужается". Это, кстати, истинное высказывание! Нет причин считать его ложным. Единственная ситуация, когда импликация ложна, это когда посылка (часть "если") истинна, а следствие (часть "то") ложна.

Еще интереснее с точки зрения здравого смысла то, что Еще интереснее с точки зрения здравого смысла то, что импликацию иногда (не совсем корректно по иным причинам!) импликацию иногда (не совсем корректно по иным причинам!) называют операцией логического следования, хотя наш пример называют операцией логического следования, хотя наш пример показывает, что высказывания могут логически не следовать одно из показывает, что высказывания могут логически не следовать одно из другого, более того, могут не иметь между собой никакой другого, более того, могут не иметь между собой никакой логической связи. Напомним, импликация, как и другие операции, логической связи. Напомним, импликация, как и другие операции, берет в расчет только истинность входящих в нее высказываний. берет в расчет только истинность входящих в нее высказываний. "Если Волга впадает в Каспийское море, то = 4" "Если Волга впадает в Каспийское море, то = 4" истинное высказывание. истинное высказывание. "Если Волга впадает в Каспийское море, то = 5" "Если Волга впадает в Каспийское море, то = 5" ложное высказывание. ложное высказывание. Хотя оба эти "логические рассуждения" с точки зрения Хотя оба эти "логические рассуждения" с точки зрения здравого рассуждения одинаково бессмысленны. здравого рассуждения одинаково бессмысленны.

Подводя итоги, можно сказать, что основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, По-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями. Подводя итоги, можно сказать, что основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, По-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.

Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоним слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис и семантику. Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоним слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис и семантику. Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина – ``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и ``аксиоматика''). Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина – ``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и ``аксиоматика'').

Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы. Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы. Формальная система определена, если: Формальная система определена, если: Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул). Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул). Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными). Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными). Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это – стартовые точки в выводах. Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это – стартовые точки в выводах. Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу. Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Список использованной литературы: Математическая Интернет- энциклопедия( Математическая Интернет- энциклопедия( Курс дискретной математики ( m) Курс дискретной математики ( m) mhttp://olddesign.isu.ru/~slava/do/disc/curshome.ht m Верещагин, В. Е. Плиско "Вводный курс математической логики" Верещагин, В. Е. Плиско "Вводный курс математической логики" Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. "Математическая логика." Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. "Математическая логика." Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. "Математическая логика." Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. "Математическая логика."

Работу выполнили: Студенты 112 группы дневного отделения Богословского факультета: Студенты 112 группы дневного отделения Богословского факультета: Казаков Алексей Игоревич; Колокольцев Павел Константинович; Лизунов Анатолий Леонидович. Казаков Алексей Игоревич; Колокольцев Павел Константинович; Лизунов Анатолий Леонидович. Москва. Москва. ПСТГУ 2005 год ПСТГУ 2005 год