Учебно – исследовательская работа Выполнили: ученицы 11 класса шк. 1 Новоселовского района, п.Анаш Сиротинина Елена, Черкасова Юлия Руководитель: учитель математики шк. 1 Лозневая Надежда Сергеевна

Аннотация Формула Герона достаточно громоздка, и ее использование требует выполнения большого количества арифметических действий, что бывает очень нелегко, особенно если числа a,b,c иррациональны. Кроме этого школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов четырехугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырехугольника, не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. Цель исследования: выявить и доказать возможность использования формулы Герона в новых условиях. Цель исследования: выявить и доказать возможность использования формулы Герона в новых условиях. В данной работе представлено преобразование формулы Герона для работы с иррациональными числами, а также исследование полученной формулы на различных видах треугольников. Найден аналог формулы Герона для вычисления площади произвольного выпуклого четырехугольника и рассмотрены возможные следствия из полученной формулы. Представлен аналог формулы Герона в стереометрии. В данной работе представлено преобразование формулы Герона для работы с иррациональными числами, а также исследование полученной формулы на различных видах треугольников. Найден аналог формулы Герона для вычисления площади произвольного выпуклого четырехугольника и рассмотрены возможные следствия из полученной формулы. Представлен аналог формулы Герона в стереометрии. В результате получена целая система формул для нахождения площади вписанного и описанного четырехугольников. Что является очень удобным при решении ряда задач. В результате получена целая система формул для нахождения площади вписанного и описанного четырехугольников. Что является очень удобным при решении ряда задач. А также показано, что формулу Герона можно получить лишь на основании теоремы Пифагора и формулы площади треугольника S= ½ ah S= ½ ah Тем самым эта формула становится доступной уже для школьников 8 класса.

S= p(p-a)(p-b)(p-c) Проблема: найти более удобные формулы для решения ряда задач, связанных с нахождением площади найти более удобные формулы для решения ряда задач, связанных с нахождением площади произвольных треугольников и выпуклых четырёхугольников произвольных треугольников и выпуклых четырёхугольников

Гипотеза: Мы предположили, что формулу Герона можно преобразовать для вычисления площади треугольника, стороны которого выражены иррациональными числами, а также для вычисления площадей конкретных треугольников и четырехугольников.

Объект исследования: формула Герона для площади треугольника Предмет исследования: процесс преобразования формулы Герона в конкретных условиях

выявить и доказать возможность использования формулы Герона в новых условиях

Изучить вклад Герона Александрийского в развитие Изучить вклад Герона Александрийского в развитие математики и его способ доказательства формулы. математики и его способ доказательства формулы. Преобразовать формулу Герона, сделав ее более для Преобразовать формулу Герона, сделав ее более для работы с иррациональными числами. работы с иррациональными числами. Исследовать полученную формулу на различных Исследовать полученную формулу на различных видах треугольников. видах треугольников. Найти аналог формулы Герона для вычисления Найти аналог формулы Герона для вычисления площади произвольного выпуклого четырехугольника. площади произвольного выпуклого четырехугольника. Рассмотреть возможные следствия из полученной Рассмотреть возможные следствия из полученной формулы. формулы. Найти аналог формулы Герона в стереометрии. Найти аналог формулы Герона в стереометрии.

Формула для вычисления площади треугольника, если его стороны выражены через радикалы. S=1/44a b2 – (c2 – a2 – b2)2 S=1/44a b2 – (c2 – a2 – b2)2

S= abcd sin2½(β +α) - ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ S= abcd – ФОРМУДА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО И ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ S= (p – b) (p – a) (p – c) – ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ, вписанной В ОКРУЖНОСТЬ.

Формула для вычисления площади произвольного выпуклого четырехугольника S= A-abcd cos2 ½(α+β)

V = 1/3 abc1 – cos2 α – cos2 β – cos2 γ + 2 cos α cos βcos γ. Формула для вычисления объёма тетраэдра

Гипотеза подтвердилась Получена удобная формула Герона для работы с иррациональными числами и исследована, путем проверки, на различных видах треугольников. Получена удобная формула Герона для работы с иррациональными числами и исследована, путем проверки, на различных видах треугольников. Получена целая система формул для нахождения площади вписанного и описанного четырехугольников. Что является очень удобным при решении ряда задач. Получена целая система формул для нахождения площади вписанного и описанного четырехугольников. Что является очень удобным при решении ряда задач. Найден аналог формулы Герона для вычисления объёма тетраэдра. Найден аналог формулы Герона для вычисления объёма тетраэдра.