«Мы пока не Архимеды» Выполнила учитель математики МОУ «Лицей28 г.Йошкар-Олы» Крайнова И.Г.

"Тропинка к истине сложна, И потому в мышленье чистом Отвага дерзкая нужна Не менее, чем альпинистам." "Мыслители" Евг. Винокуров

10 лет из года в год в нашей школе бой идет. Бой, но не мальчишеский, бой математический. Уже 10 лет подряд Школа в призерах. Директор наш рад: «Тот, кто школу защищает, её славу умножает».

Скоро нам придется биться Научиться побеждать, Но для этого задачки Нам придется порешать. Заглянуть и в интернет, Хотя там ответов нет.

Мы в заочный институт даже поступаем научиться логике и память развиваем.

Старшеклассники у нас бой ведут и судят нас Мы стараемся прилежно выполнять задание Чтоб на смену им придти, Школу чтоб не подвести.

В добрый путь и в добрый час- начинаем бой сейчас!

финал Выбери задачу

1 задача Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее место. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня? Решение

2 задача Имеются 7 монет, пронумерованных числами от 1 до 7. Известно, что ровно 6 из них настоящие, весящие одинаково, а одна фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6 и 7 не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты? Решение

3 задача Незнайка хочет составить число так, чтобы все цифры, входящие в его запись были различны, а любые две, стоящие подряд, цифры составляли простое число. Найдите наибольшее число, которое может у него получиться. Решение

4 задача Имеется две кучки камней: в одной - 30 камней, а в другой Двое по очереди берут камни из кучек, причем за один раз каждый может взять сколько угодно камней, но из одной кучки. Взявший последний камень считается победителем. Кто из игроков выигрывает при наилучшей игре с обеих сторон, и как он для этого должен играть? Решение

5 задача В кружке рукоделия, где занимается Миша, более 93% участников девочки. Какое наименьшее число детей может быть в таком кружке? Решение

6 задача Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна 0. Решение

Решение 1 задачи Ваня занял первое место. В самом деле, пусть первое место занял кто-нибудь другой, тогда он рассчитывал занять место лучше, чем первое, чего не может быть.

Решение 2 задачи Да, можно. Предложим способ взвешивания: 1-е взвешивание: на одну чашку весов положим монеты 1 и 5, а на другую - 3 и 6. Рассмотрим теперь все возможные случаи. а) Весы остались в равновесии. В этом случае все монеты на весах настоящие. Следовательно, фальшивая монета одна из трех - 2, 4 и 7. Теперь проводим второе взвешивание. На одну чашку весов положим монеты 1 и 5, а на другую - 2 и 7. Учитывая, что обе монеты 1 и 5 настоящие, снова рассмотрим случаи. Если весы остались в равновесии, то фальшивая монета имеет номер 4. Если монеты 2 и 7 перевесили, то фальшивая монета - 7, так как 2-я монета не может быть тяжелее настоящей по условию. Если же, наконец, 2-я и 7- я монеты легче, то фальшивая монета - 2, так как монета 7 не может быть тяжелее настоящей.

Решение 2 задачи б) 1-я и 5-я монеты оказались легче. В этом случае фальшивой является одна из монет 1, 3 или 6, так как монета 5 не может быть легче настоящей. Проводим второе взвешивание: на одну чашку весов положим монеты 1 и 6, на другую - 2 и 4. Учитывая, что монеты 2 и 4 являются настоящими, рассмотрим случаи, аналогичные случаям пункта а): если весы остались в равновесии, то фальшивая монета - 3. Если 1-я и 6-я монеты тяжелее, то фальшивая монета - 6, так как монета 1 не может быть тяжелее настоящей. Если монеты 1 и 6 оказались легче, то фальшивой является монета 1, так как монета 6 не может быть легче настоящей.

Решение 2 задачи в) Монеты 1 и 5 тяжелее. Тогда фальшивая монета одна из двух - 3 и 5, так как монета 1 не тяжелее настоящей, а монета 6 не может быть легче, чем настоящая. Проводим второе взвешивание: на одну чашку весов положим монету 3, а на другую - монету 4. Если весы остались в равновесии, то фальшивая монета - 5. В противном случае фальшивой является 3-я монета.

Решение 3 задачи Заметим, что четные цифры и цифра 5 могут стоять только на первом месте в искомом числе, иначе "внутри" числа не все рядом стоящие цифры образуют простые числа. Итак, на первое место ставим максимальную среди возможных цифр - 8 (если поставить цифру 9,то полученное число будет иметь на разряд меньше). На остальных местах могут стоять только цифры 1, 3, 7 и 9. Так как необходимо построить наибольшее из чисел, удовлетворяющих условию, то на следующие места ставим эти цифры в порядке убывания, проверяя каждый раз выполнение нужного свойства. Так как 89, 97, 73 и 31 - простые числа, то искомое число равно

Решение 4 задачи Выигрывает начинающий. Его стратегия такова: первым ходом он берет из большей кучки 10 камней, а в дальнейшем берет столько же камней, сколько взял его соперник своим предыдущим ходом, но из другой кучки. Таким образом, начинающий игрок каждым своим ходом уравнивает количество камней в кучках, что всегда обеспечивает ему возможность сделать очередной ход после хода противника.

Решение 5 задачи Пусть в кружке x участников, из которых y девочки. Тогда по условию количество участников без Миши откуда, Наименьшее целое число равно 15. Таким образом в кружке 14 девочек и Миша.

Решение 6 задачи Докажем это методом "от противного". Если произведение целых чисел равно 1, то эти числа могут быть равными только 1 или -1. Если сумма единиц и минус единиц равна нулю, то количество единиц совпадает с количеством минус единиц. Значит, если произведение 22 целых чисел равно единице, а их сумма равна нулю, то среди этих чисел 11 единиц и 11 минус единиц. Но 1 11 ·(-1) 11 = -1, что противоречит условию.

Используемые ресурсы и литература htmlhttp://virlib.eunnet.net/mif/text/n2398/3- 2.html 2.Е.Г.Коннова. Математика. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. Издательство «Легион», Ростов-на-Дону,2008г