Математика Метод интервалов

Математика Определение Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно, называют рациональным неравенством с неизвестным.

Решить неравенство – значит найти все его решения или показать, что их нет. Определение Решением неравенства с неизвестным называют число, при подстановке которого в это неравенство вместо получается верное числовое неравенство.

Метод интервалов для решения неравенств вида и основан на следующем утверждении. Точка делит ось на две части: 1) для любого, находящегося справа от точки, двучлен положителен; 2) для любого, находящегося слева от точки, двучлен отрицателен. Метод интервалов для решения неравенств вида и, где Х

Пусть требуется решить неравенство Не нарушая общности, положим Тогда: 1). Отметим на оси точки - нули множителей левой части неравенства. Они делят ось на интервалы,,,,. 2). Для любого, находящегося справа от, любой двучлен левой части неравенства положителен, поэтому для любого принадлежащего интервалу. 3). Для любого, находящегося между точками и, последний множитель в произведении отрицателен. Поэтому для любого, принадлежащего интервалу. 4). Для любого, находящегося между точками и последние два множителя в произведении отрицательны, а любой из остальных множителей положителен, поэтому принадлежащего интервалу. для любого, 5). Аналогично рассуждая, получим, что для из интервалов для из,. и,,

Замечание 1. Сами числа не являются решением неравенства. Замечание 2. Множество решений неравенств вида, и где,, есть объединение множества всех решений неравенств и и множества всех решений уравнения.

1. Привести рациональное неравенство к одному из видов:, где. 2. Найти нули множителей, стоящих в левой части неравенства, и расположить их на оси в соответствующем порядке. Метод интервалов для решения неравенств вида,,,, где,,, то есть все различны.

3. Над промежутком справа от наибольшего нуля многочлена поставить знак «+», так как на этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной нуль, сменить знак на противоположный. Метод интервалов для решения неравенств вида,, где,, то есть все различны.

Пример1 Решить неравенство. Решение Нули множителей:,,. Х Ответ:

Пример2 Решение Решить неравенство. Х умножив неравенство на -1 и разложив квадратный трёхчлен на множители, получим неравенство равносильное данному Нули множителей:,,, Ответ:

Пример3 Решение Решить неравенство. умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на множители, получим неравенство равносильное данному Нули множителей:,,,. Х Ответ:

Пример4 Решение Х умножив неравенство 2 раза на -1, разложив квадратные трёхчлены на множители и учитывая, что, получим неравенство равносильное данному Решить неравенство Нули множителей:,,,,, Ответ:

Общий метод интервалов для решения неравенств вида,,,,где, если не все различны. 1. Привести рациональное неравенство к одному из видов:, где если не все различны, то произведение одинаковых двучленов записывают в виде степени этого двучлена,.

Общий метод интервалов для решения неравенств вида,,,,где, если не все различны. 2. Найти нули множителей, стоящих в левой части неравенства, и расположить их на оси в соответствующем порядке. 3. Над промежутком справа от наибольшего нуля многочлена поставить знак «+», так как на этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной нуль, сменить знак на противоположный, если соответствующий этому нулю двучлен возведён в нечётную степень, и сохранить знак, если соответствующий этому нулю двучлен возведён в чётную степень.

Решение Пример1 Решить неравенство. Нули множителей:,,,. Х Ответ:

Нули множителей:,,. Пример1 Решить неравенство. Решение Х Ответ: !

Метод интервалов для решения неравенств вида и, где и разлагаются в произведения разных двучленов вида. Замечание 1. Неравенство равносильно неравенству, неравенство равносильно неравенству.

Пример1 Решить неравенство. Решение Нули множителей:,. Х Ответ:

Пример2 Решить неравенство. Решение умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на множители, получим неравенство равносильное данному Нули множителей:,,,. Х Ответ:

Пример3 Решить неравенство. Решение Нули множителей:,,,. Х , Ответ:

Метод интервалов для решения неравенств вида и, где и разлагаются в произведения двучленов, где в числителе и знаменателе дроби имеются одинаковые двучлены. Не нарушая общности положим, что неравенство имеет вид тогда его можно представить в виде.

Пример1 Решить неравенство. Решение Нули множителей:,,. Х Ответ:

Замечание. Множество решений неравенств вида, есть объединение множества всех решений неравенств, и множества всех решений уравнения.

Пример1 Решение (ЦТ 2000 г.)Найти число целых решений неравенства

Нули числителя:,. Нули знаменателя:,,. Х Итак Целые решения: Ответ: 4 целых решения. Пример1 Решение (ЦТ 2000 г.)Найти число целых решений неравенства