Занимательные задачи «Теории вероятностей» Для решения вероятностных задач необходим здравый смысл и строгая логика рассуждений, подтвержденная точными расчетами

Автор проекта ученица 10 класса «А» ученица 10 класса «А» ГОУ СОШ 420 г. Москвы Фаткина Диана Фаткина Диана Руководитель проекта Учитель математики Учитель математики ГОУ СОШ 420 г. Москвы Афанасьева С.В. Афанасьева С.В.

В работе использованы материалы книги В работе использованы материалы книги Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» Москва «Наука» Главная редакция Главная редакция физико-математической литературы, 1985

Аннотация В данной работе предложены пять задач по «Теории вероятности», для решения которых требуется лишь здравый смысл, но тем не менее каждое решение сопровождается строгими логическими рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы в неопровержимые факты. В данной работе предложены пять задач по «Теории вероятности», для решения которых требуется лишь здравый смысл, но тем не менее каждое решение сопровождается строгими логическими рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы в неопровержимые факты.

Содержание Легкомысленный член жюри Легкомысленный член жюри Странное метро Странное метро Нетерпеливые дуэлянты Нетерпеливые дуэлянты Трехсторонняя дуэль Трехсторонняя дуэль Выбор наибольшего приданного Выбор наибольшего приданного

Легкомысленный член жюри Решение. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для внесения решения бросает монету (окончательное решение выноситься большинством голосов). Жюри из одного человека выносит правильное решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит правильное решение? В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для внесения решения бросает монету (окончательное решение выноситься большинством голосов). Жюри из одного человека выносит правильное решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит правильное решение?

Решение задачи « Легкомысленный член жюри » Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, если два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью рр, то результат голосования третьего члена жюри уже не важен. Если же судьи будут расходиться во мнениях, вероятность чего равна р(1-р)+(1-р)р= 2р(1-р), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Если же судьи будут расходиться во мнениях, вероятность чего равна р(1-р)+(1-р)р= 2р(1-р), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна рр+р(1-р)=р, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.

Странное метро Решение. Виктор кончает работу во время между 15 и 17 часами. Его мать и невеста живут в противоположных частях города. Виктор садиться в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направление, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Виктора жалуется на то. что он редко у нее бывает. Но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесткой равны. Он обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление. Виктор кончает работу во время между 15 и 17 часами. Его мать и невеста живут в противоположных частях города. Виктор садиться в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направление, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Виктора жалуется на то. что он редко у нее бывает. Но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесткой равны. Он обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

Решение задачи « Странное метро » Возможен такой вариант. Возможен такой вариант. Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Виктор, например, в 3.00, 3.10, 3.20 и т.д. Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Виктор, например, в 3.00, 3.10, 3.20 и т.д. А поезда в противоположном направлении в 3.01, 3.11, 3.21 и т.д. А поезда в противоположном направлении в 3.01, 3.11, 3.21 и т.д. Чтобы поехать к матери, Виктор должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов, а интервал ожидания поезда к невесте равен 19 минутам.

Нетерпеливые дуэлянты Решение. Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком. Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком.

Решение задачи « Нетерпеливые дуэлянты » Пусть х и у обозначают время прибытия первого и второго дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа, начиная с 5 часов. Заштрихованная площадь квадрата соответствует случаю, когда дуэлянты встречаются. Вероятность того, что они не встретятся, равна 2 ( ½ 11/12 11/12) = 121/144. Так что шансы на поединок равны /144 = 23/144 = 0,16

Трехсторонняя дуэль Решение. А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С-0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А? А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С-0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А?

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » Чаще всего предлагается следующая стратегия: Чаще всего предлагается следующая стратегия: Поскольку В стреляет без промаха, то А очевидно должен стрелять именно в него. Даже если А промахнется, то В выберет своей жертвой более сильного противника, и у А будет возможность выстрелить в него еще раз. Поскольку В стреляет без промаха, то А очевидно должен стрелять именно в него. Даже если А промахнется, то В выберет своей жертвой более сильного противника, и у А будет возможность выстрелить в него еще раз. Почему эта стратегия не самая лучшая ?

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » ( продолжение ) Подсчитаем вероятность А остаться в живых при предложенной стратегии: Подсчитаем вероятность А остаться в живых при предложенной стратегии: Если А не попадает в В, то В наверняка выведет из строя наиболее опасного для него соперника С. С вероятностью 0,3 дуэлянт А попадет в В. Если же А промахнется и в этот раз, то его песенка спета, ведь В стреляет без промаха. Если А не попадает в В, то В наверняка выведет из строя наиболее опасного для него соперника С. С вероятностью 0,3 дуэлянт А попадет в В. Если же А промахнется и в этот раз, то его песенка спета, ведь В стреляет без промаха. Если А попадает в В с первого выстрела, то ему придется перестреливаться с С до первого попадания. Если А попадает в В с первого выстрела, то ему придется перестреливаться с С до первого попадания. Шансы выигрыша у А равны Шансы выигрыша у А равны 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….=3/13

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » ( вычисления ) 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….= ? 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….= ? Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где b 1 =0,50,3 = 0,15 ; q = 0,5 0,7 = 0,35 b 1 =0,50,3 = 0,15 ; q = 0,5 0,7 = 0,35 S=b 1 :(1-q)=0,15 : (1 – 0,35) = 15 : 65 = 3/13 S=b 1 :(1-q)=0,15 : (1 – 0,35) = 15 : 65 = 3/13

Выбор наибольшего приданого Король для испытания кандидата на роль Король для испытания кандидата на роль придворного мудреца предлагает ему придворного мудреца предлагает ему женитьбу на молодой придворной даме, женитьбу на молодой придворной даме, имеющей наибольшее приданое. Сумма имеющей наибольшее приданое. Сумма приданого записывается на билетиках и приданого записывается на билетиках и они перемешиваются. Наудачу вытягивается они перемешиваются. Наудачу вытягивается билетик и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает билетик и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает эту леди в жены вместе с приданым, в противном эту леди в жены вместе с приданым, в противном случае - не получает ничего. При отказе от суммы, случае - не получает ничего. При отказе от суммы, указанной в первом билетике, мудрец должен указанной в первом билетике, мудрец должен вытянуть второй билет и отказаться или нет от него вытянуть второй билет и отказаться или нет от него и т.д., пока не сделает выбор или не отвергнет все и т.д., пока не сделает выбор или не отвергнет все приданые. При дворе короля всего несколько богатых и приданые. При дворе короля всего несколько богатых и привлекательных дам, все их приданые различны. Как привлекательных дам, все их приданые различны. Как должен действовать мудрец? должен действовать мудрец? Решение.

Решение задачи « Выбор наибольшего приданого » Наиболее популярная стратегия для большого количества билетов Пропустить первую половину билетов и затем выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие, если таковая найдется. Пропустить первую половину билетов и затем выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие, если таковая найдется. Эта стратегия разумная, но не самая оптимальная. Эта стратегия разумная, но не самая оптимальная. Хочешь знать, почему? Хочешь знать, почему?

Чтобы найти выигрышную стратегию, надо 1. Проанализировать несколько частных случаев решения задачи 2. Выдвинуть гипотезу выигрышной стратегии 3. Обосновать правильность выигрышной стратегии. В данной задаче случай для четырех придворных дам уже опровергает гипотезу о необходимости пропустить половину билетов

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если придворных дам всего три, а величины их приданных записаны соответственно числами 1, 2, 3 Если придворных дам всего три, а величины их приданных записаны соответственно числами 1, 2, 3 ( чем больше номер, тем больше приданое) ( чем больше номер, тем больше приданое) Имеем шесть способов вытаскивания билетов: Имеем шесть способов вытаскивания билетов: Стратегия (пропустить первый билет и выбрать первое число, превосходящую все предыдущие) окажется выигрышной в трех из шести вариантов Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из трех Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из трех составляет 1/3 составляет 1/3 Вероятность получения наибольшего приданого при выбранной стратегии Вероятность получения наибольшего приданого при выбранной стратегии составляет 1/2 составляет 1/2 (пока стратегия действительно является выигрышной) Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 1 (пропустить один первый билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Выигрыш будет в одиннадцати из двадцати четырех вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 2 (пропустить первые два билета и выбрать первое число, превосходящее все предыдущие) Выигрыш будет в десяти из двадцати четырех вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 3 (пропустить первые три билета, т.е. выбрать четвертую даму) Выигрыш будет в шести из двадцати четырех вариантов Стратегия равнозначна выбору дамы, чей билетик будет первым, или вторым, или третьим Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из четырех Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из четырех составляет 1/4 составляет 1/4 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). составляет 11/24 составляет 11/24 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 10/24 составляет 10/24 (значит, из четырех билетов пропустить следует только один) Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 1 (пропустить один первый билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Выигрыш будет в пятидесяти из ста двадцати вариантов Полезный совет Оптимальный вариант

Полезный совет Для удобства подсчета вариантов Для удобства подсчета вариантов мы расположили числа в порядке возрастания, распределив их по столбцам: мы расположили числа в порядке возрастания, распределив их по столбцам: сначала записали наименьшее возможное пятизначное число, составленной из пяти различных цифр, а затем начали увеличивать числа, переставляя данные цифры. а затем начали увеличивать числа, переставляя данные цифры. Перестановку начали, естественно, с младших разрядов. Такой порядок называется лексикографическим.

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Выигрыш будет в пятидесяти двух из ста двадцати вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Выигрыш будет в сорока двух из ста двадцати вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Стратегия – случайный выбор дамы – дает выигрыш в двадцати четырех из ста двадцати вариантов (Независимо от того, на каком билете остановить свой выбор: первом, втором, третьем, четвертом или пятом) Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из пяти Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из пяти составляет 24/120 = 1/5 составляет 24/120 = 1/5 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). составляет 50/120=5/12 составляет 50/120=5/12 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 53/120 составляет 53/120 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 42/120=7/20 составляет 42/120=7/20 (значит, из пяти билетов пропустить следует два) Полезный совет

Подсчитать варианты можно было без составления таблиц. без составления таблиц. Подсчитаем количество всех пятизначных чисел, Подсчитаем количество всех пятизначных чисел, составленных из заданных цифр (без повторений): на первом месте может стоять любая из пяти цифр – всего 5 вариантов, на втором – 4, на третьем – 3, на четвертом – 2, на пятом – 1. Всего = 120. Такое произведение называется «факториал». Количество перестановок из 5 цифр равно 5!=120 Количество перестановок из 5 цифр равно 5!=120 Количество перестановок из 4 цифр равно 4!=24 Количество перестановок из 4 цифр равно 4!=24 Количество перестановок из 3 цифр равно 3!=6 Количество перестановок из 3 цифр равно 3!=6 Количество перестановок из 2 цифр равно 2!=2 Количество перестановок из 2 цифр равно 2!=2

Для стратегии 1 выигрышными будут следующие варианты: если на первом месте стоит 4, то выигрышными будут все 24 варианта ( все другие цифры могут стоять в любом порядке, т.к. мы будем искать в билете цифру, большую четырех, а значит 5) если на первом месте стоит 3, то выигрышными будут сочетания, когда 4 следует за 5: поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифры 2 или 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 4 варианта) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифры 2 или 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 4 варианта) поставив 5 на четвертое место, пятое место займет 4 остальные две цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) поставив 5 на четвертое место, пятое место займет 4 остальные две цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) Оптимальный вариант

Для стратегии 1 выигрышными будут следующие варианты: если на первом месте стоит 2, то выигрышными будут сочетания, когда и 3, и 4 следуют за 5: поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифра 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифра 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) если на первом месте стоит 1, то выигрышными будут сочетания, когда 5 стоит вслед за ней, остальные три цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 6 вариантов) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: 24+(6+4+2)+(6+2)+6= Оптимальный вариант

Для стратегии 2 выигрышными будут следующие варианты: если на одном из двух первых мест стоит 4, то выигрышными будут все варианты, где 5 занимает одно из трех последних мест.(Для пятерки – 3, для четверки - 2 варианта, для остальных трех цифр – 6, всего 36 вариантов) если 4 стоит на четвертом месте, то 5 должна стоять на третьем, а остальные три цифры располагаются в произвольном порядке.(Для пятерки – 1 вариант, для остальных трех цифр – 6, всего 6 вариантов) если 4 стоит на пятом месте, то количество хороших вариантов будет равно 10 (см. стратегию 2 для четырех дам) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: = Оптимальный вариант

Для стратегии 3 выигрышными будут следующие варианты: если на одном из трех первых мест стоит 4, то выигрышными будут все варианты, где 5 занимает одно из двух последних мест.(Для пятерки – 2, для четверки - 3 варианта, для остальных трех цифр – 6, всего 36 вариантов) если 4 стоит на пятом месте, то 5 должна стоять на 4, а остальные три цифры в произвольном порядке на первых трех местах ( всего 6 вариантов) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: 36 +6= Оптимальный вариант

Некоторые оптимальные варианты для решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если n – количество придворных дам, s – количество билетов, которые следует пропустить, s – количество билетов, которые следует пропустить, р – вероятность получения наибольшего приданного р – вероятность получения наибольшего приданного 210, , , , , , , ,371

Вот пока и всё …. Надеемся, что вам понравились предложенные в проекте сюжеты, Надеемся, что вам понравились предложенные в проекте сюжеты, вы не пропустили ни одного скрытого слайда и разобрались с решением всех задач Будем ждать встречи в следующем году…