Интеграл. Площади криволинейных фигур Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. (Ал-Бируни)

Авторы проекта: Никитин Виктор Николаев Руслан Учащиеся 11А класса, МОУ«СОШ12»

Цель исследования путь познания увлекателен, но не усыпан розами Найти способы вычисления площади криволинейной фигуры Составить справочник формул площадей Решить задач и на нахождение площад ей фигур

Этапы работы Подготовка. Изучение теоретического материала. Исследование. Нахождение способов вычисления площадей данных фигур. Результаты и выводы. Представление. Защита полученных результатов.

Определение.Фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей неотрицательные значения на отрезке [a;b], отрезком [a;b] оси Ox и прямыми x=a и x=b, называют криволинейной трапецией.

Для вычисления площади криволинейной трапеции применяют формулу S=F (b)- F(a), где F (b)- F(a) при- ращение первообразной F (x) для функции f (x) на отрезке [ a; b]. Еще разность F(b)-F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают так. Значит, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле которая называется формулой Ньютона-Лейбница.

Важный принцип решения математических задач– сведение задачи к известной. Чтобы вычислить площадь более сложной фигуры, нужно выделить в ней криволинейные трапеции, вычислить их площади. Пример 1. Этапы вычисления площади: а) найти отрезок [a; b], на котором задана функция f(x). б) построить график f(x) на отрезке [a;b] в) если f(x) 0 на [a; b], то

Пример 2 б) найти абсциссы точек пересечения графиков функций f(x) и g(x) друг с другом и осью Ox. в) если S=S 1 +S 2, то Этапы вычисления S: а) построить графики функций f(x) и g(x), образующие (вместе с осью Ox), криволинейную трапецию.

Пример 3. Этапы вычисления S: а) найти на оси Ох отрезок [a;b], на котором заданы функции f(x) и g(x). б) построить графики функций f(x) и g(x) для xє[a;b]. в) Если и S=S 1 -S 2, то где f(x)g(x) на [a;b].

Задача 1. Укажите различные способы вычисления площади заштрихованной фигуры. Решение. 1 способ. x y O 3-3 Функции заданы на отрезке [-3;3]. Запишем основные этапы вычисления: а) выделим криволинейные трапеции ABC и ADC. б) вычислим их площади S ABC и S ADC. в) площадь искомой фигуры S=S ABC +S ADC Итак, А B C D

2 способ. Так как,при -3x3, то чтобы найти площадь искомой фигуры применим формулу Итак, 3 способ. Ответ: 16.

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной отрезком оси Ox, графиком функции y=cos x и прямой x= y xO 1.Нарисуем данную фигуру 2.Решим уравнение cos x =0. График функции y=cos x на отрезке пересекает ось Ox в точках 3. Искомая площадь Ответ:3.5

Выводы: Нашли способы вычисления площадей криволинейных фигур. Составили справочник формул площадей. Решили задачу 1 тремя способами. Узнали много интересного в ходе работы над проектом.