Цель: Создание условий для развития познавательной творческой активности учащихся среднего школьного возраста при изучении математики.

Задачи: развивать познавательные интересы личности (восприятие, воображение, память, мышление, внимание и др.); формировать устойчивый интерес к предмету, познавательную активность; формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности; развивать коммуникативные качества личности.

Задачи на переливание - это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов.

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

Банки6 литров4 литров3 литра До переливания600 После 1-го переливания240 После 2-го переливания213 После 3-го переливания510 После 4-го переливания501

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Бочонки Восьмиведер ный Пятиведер ный Трехведер ный До переливания800 После 1-го переливания350 После 2-го переливания323 После 3-го переливания620 После 4-го переливания602 После 5-го переливания152 После 6-го переливания143 После 7-го переливания440

Бочонки Восьмиведер ный Пятиведер ный Трехведер ный До переливания800 После 1-го переливания503 После 2-го переливания533 После 3-го переливания231 После 4-го переливания251 После 5-го переливания700 После 6-го переливания713 После 7-го переливания410 После 8-го переливания44

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведёр кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.

Бочонки Шестиведе рный Трехведер ный Семиведер ный До переливания406 После 1-го переливания136 После 2-го переливания127 После 3-го переливания622 После 4-го переливания532 После 5-го переливания505

Бочонки Шестиведер ный Трехведер ный Семиведер ный До переливания406 После 1-го переливания433 После 2-го переливания613 После 3-го переливания217 После 4-го переливания235 После 5-го переливания505

Три человека купили сосуд, полностью заполненный 24 унциями бальзама. Позже они приобрели три пустых сосуда объемом 5, 11 и 13 унций. Как они могли бы поделить бальзам на равные части используя эти четыре сосуда? Постарайтесь решить задачу за наименьшее количество переливаний.

Сосуды24 унции13 унций11 унций 5 унций До переливания После 1-го переливания После 2-го переливания После 3-го переливания После 4-го переливания После 5-го переливания 888 0

Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна - литровая, другая - двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?

1) наполнить литровую банку, 2) вылить её содержимое в двухлитровую банку, 3) наполнить литровую банку из трёхлитровой банки. Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

1) наполнить двухлитровую банку, 2) наполнить из неё литровую банку. Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на пять галлонов и попросил лавочника налить туда четыре галлона отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был старый оловянный кувшин на три галлона. Как лавочник сумел точно отмерить четыре галлона с помощью этих двух емкостей?

1) наполнил кувшин на три галлона и вылил из него ром в бочонок на пять галлонов; 2) снова наполнил кувшин на три галлона и вылил ром в бочонок до тех пор, пока тот не наполнится целиком; 3) в кувшине на три галлона остался один галлон; потом вылил ром из бочонка на пять галлонов обратно в большую бочку с ромом, а один галлон рома из кувшина вылил в бочонок моряка; 4) снова наполнил ромом кувшин на три галлона и вылил его содержимое в бочонок; теперь в бочонке - четыре галлона рома.

К продавцу, студенту-математику, подрабатывющему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров.

Предложенная сумма существенно превышает стоимость кваса в бочке, и последнюю можно использовать как дополнительную емкость, слив квас бесплатно зрителям в их личные емкости. Возможный порядок действий: а) отмеряем 7 литров следующим образом: (0,5)-(3,2)- (0,2)-(2,0)-(2,5). В этой записи первая цифра - количество кваса в трехлитровой емкости, вторая - в пятилитровой; б) опоражниваем бочку, сливая из нее остатки кваса, и заливаем в нее отмеренные 7 литров; действуем по схеме (третье число - количество кваса в бочке): (0,0,7)- (3,0,4)-(0,3,4)-(3,3,1)-(1,5,1)-(1,0,1)-(1,1,0).

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

Сначала он наполнил 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Потом опять наполнил 30-литровый и долил до полного заполнения в 50- литровый. В результате у него в кувшине останется 10 литров.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров. Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л. Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр. Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда в 8л. как раз остается 6л.

Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?

Ходы л л-3-223

Ходы л л

Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу.

Ходы л л

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Ходы л л л

Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5- литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

Ходы л л

Шрек решил сделать Фионе подарок на день рождения – приготовить суп, о котором она мечтала уже давно. Рецепт этого супа он нашел в поваренной книге, но возникла небольшая проблема: нужно налить в кастрюлю ровно 5 л воды. Но как это сделать, если у Шрека 7-литровое ведро и 3- литровая банка? Помогите своему любимому герою исполнить мечту Фионы.

Ходы л л

У Гарри Потера имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Волшебное зелье должно варится 15 минут. Как сварить его Гарри Потеру, перевернув часы минимальное количество раз?

15 = (11 - 7) Нужно одновременно перевернуть часы, через 7 минут Гарри начинаем варить зелье. После 4 минут (песок в часах на 11 минут закончится) вновь перевернуть часы на 11 минут. Задача решена.

У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3- литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3- литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

Ходы л л л--3-

Летом Винни-Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5- литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

Ходы л л л--1-1-

У Белоснежки есть полное восьмилитровое ведро компота. Как ей отлить 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона?

Ходы л л л

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Бидон 10 литровый 7 литровый 3 литровый До переливания1000 После 1-го переливания370 После 2-го переливания343 После 3-го переливания640 После 4-го переливания613 После 5-го переливания910 После 6-го переливания901 После 7-го переливания271 После 8-го переливания253

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости. Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого. Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре после этого останется воды?

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется /100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока. После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1). Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство: 99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n- 1) Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четная, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

Примусы10 литровый7 литровый2 литровый До переливания 1000 После 1-го переливания 370 После 2-го переливания 352 После 3-го переливания 550

Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?

Сосуды12 литровый8 литровый3 литровый До переливания 1200 После 1-го переливания 903 После 2-го переливания 930 После 3-го переливания 633 После 4-го переливания 660

У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3- литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3- литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

Ведерко7 литровое4 литровое3 литровое До переливания 700 После 1-го переливания 340 После 2-го переливания 313 После 3-го переливания 610 После 4-го переливания 601

Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5- литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

Ведро6 литровое5 литровоелитровое До переливания 600 После 1-го переливания 150 После 2-го переливания 141 После 3-го переливания 240 После 4-го переливания 231 После 5-го переливания 330

На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4- литровое. Как ему разделить мед пополам?

Ведро10 литровое7 литровое4 литровое До переливания1000 После 1-го переливания604 После 2-го переливания640 После 3-го переливания244 После 4-го переливания271 После 5-го переливания901 После 6-го переливания910 После 7-го переливания514 После 8-го переливания550

Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см 3 ) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу.

Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт?

Бочонок 12 литровый 8 литровый 5 литровый До переливания1200 После 1-го переливания480 После 2-го переливания435 После 3-го переливания930 После 4-го переливания903 После 5-го переливания183 После 6-го переливания165 После 7-го переливания660

Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

До переливания800 После 1-го переливания260 После 2-го переливания233 После 3-го переливания530 После 4-го переливания503 После 5-го переливания800 Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

Трое ребят пришли к веселому молочнику за молоком с битонами 3, 4 и 5 литра и попросили налить каждому по 2 литра.У молочника есть 2 полных больших фляги по 50 литров каждая. Немного подумав, молочник легко справился с этим заданием.

Бидон 5 литро вый 3 литро вый 4 литро вый 50 литр. До переливания00050 После 1-го переливания После 2-го переливания После 3-го переливания После 4-го переливания После 5-го переливания После 6-го переливания После 7-го переливания После 8-го переливания

В бочке 20 литров вина. Сосед просит налить ему 5 литров а сам пришел с ведрами на 7 и 13 литров. Нет проблем - сказал хозяин. Как он поступил?

Ведро 7 литровое 13 литровое 20 литровая До переливания0020 После 1-го переливания0137 После 2-го переливания767 После 3-го переливания0614 После 4-го переливания6014 После 5-го переливания6131 После 6-го переливания7121 После 7-го переливания0128 После 8-го переливания758

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

Сначала он наполнил 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Потом опять наполнил 30-литровый и долил до полного заполнения в 50- литровый. В результате у него в кувшине останется 10 литров.

Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Заполняем 9-литровую банку и заливаем из нее в 5-литровое ведро. В 9 литровой - 4 литра. Выливаем воду из 5-литровой и заливаем туда 4 литра из 9-литровой. Заполняем 9-литровую и выливаем оттуда 1 литр в 5-литровую. Выливаем воду из 5- литровой и заполняем 5-литровую из 9- литровой. В 9-литровой теперь 3 литра. Если 5 литров в ведре не нужно, их можно вылить.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л.

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л.-4 литра, в 8л-3литра, а в 5л.-5 литров. Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л. Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр. Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда в 8л. как раз остается 6л.

Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна - литровая, другая - двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?

Можно разлить сок так: 1) наполнить литровую банку, 2) вылить её содержимое в двухлитровую банку, 3) наполнить литровую банку из трёхлитровой банки. Теперь во всех банках будет по одному литру сока. Однако можно разлить сок и так: 1) наполнить двухлитровую банку, 2) наполнить из неё литровую банку. Теперь во всех банках будет по одному литру сока. Квас на двоих

Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками? Решите задачу двумя способами.

БочонокБольшой5 ведерный3 ведерный До переливания800 После 1-го переливания350 После 2-го переливания323 После 3-го переливания620 После 4-го переливания602 После 5-го переливания152 После 6-го переливания143 После 7-го переливания440

Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988 Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959 В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990 Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование N1. И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991