Выполнила Выполнила: Белова Александра, учащаяся 11 класса МОУ Мишелёвской СОШ 19

Буняковский Виктор Яковлевич [ ], русский математик, член Петербургской АН (1830; адъюнкт с 1828) и её вице-президент (186489). Математическое образование получил в Париже. Сыграл значительную роль в повышении научного уровня преподавания математики. Состоял главным экспертом правительства по вопросам статистики и страхования. Коши Огюстен Луи ( ), французский математик, член Парижской АН (1816). Окончил Политехническую школу (1807) и Школу мостов и дорог (1810) в Париже. В работал инженером в г. Шербур. В преподавал в Политехнической школе и Коллеж де Франс. С 1848 в Парижском университете и в Коллеж де Франс. Работы Коши относятся к различным областям математики.

Показать, что при помощи рассматриваемого неравенства можно быстро и легко решать сложные неравенства и системы уравнений

Изучить соответствующую литературу по проблеме; Познакомиться с доказательством неравенства Коши; Познакомиться с доказательством неравенства Коши–Буняковского; Применить данное неравенство к решению задач; Провести мини–исследование среди учащихся на применение рассматриваемого неравенства.

Теорема 1: Для любых действительных чисел а 1, а 2,…., а n, b 1, b 2,….,b n (n–любое натуральное число, большее 1) справедливо следующее неравенство (a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n ) 2 (a 1 2 +a 2 2 +…+a n 2 )·(b 1 2 +b 2 2 +…+b n 2 ) или a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n b 1 /a 1 =b 2 /a 2 =…=b n /a n

(u – v) 2 u 2 · v 2 u ·v u · v где u = v = u·v=a 1 b 1 +a 2 b 2

Найти максимальное значение функции Решение. Решение. Рассмотрим векторы Тогда u = v = Тогда неравенство u·v u · v примет вид: то есть при любом допустимом значении х f(x) 6. Значит, f max =6.

Задача Задача Решить систему уравнений (х 3 +у 3 ) 2 =х 2 +у 2, х 4 +у 4 =1. Решение. Решение. Рассмотрим векторы u(x 2 ; y 2 ) и v(x; y), тогда для них имеет место неравенство (u – v) 2 u 2 · v 2, то есть (x 3 +y 3 ) 2 (x 4 +y 4 )(x 2 +y 2 ),(если (х; у)– решение данной системы), х 2 +у 2 1·(х 2 +у 2 ), следовательно, откуда х = у, а значит х 4 +у 4 =1, то решением системы будет Рассмотрение случаев, когда х=0 или у=0 даёт решения (0;1), (0;–1), (1;0). Ответ: (0;1); (0;–1); (1;0);

Задача Решить систему x 4 +y 4 +z 4 =1 x 2 +y 2 +2x 2 = Решение. Решение. Пусть (х;у)–решение системы, тогда для векторов u(x 2 ; y 2 ; z 2 ) и v(1;1;2), с одной стороны, имеют место равенства: u·v= что является ложным утверждением, значит, исследуемая система уравнений несовместна. u =1 v =, а с другой стороны, согласно неравенству Коши – Буняковского, справедливо соотношение u·v u · v,,

Задача Задача Найти наибольшее значение функции Решение Решение Введём в рассмотрение вектора Найдём u = у v = у 2 Значит, наибольшее значение функции равно 2