Бином Ньютона «Эка, сложность какая! Прямо Бином Ньютона!» А.П. Чехов

2 Рассмотрим выражение (a+b) n (a+b)=a+b (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 =a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 … Отметим, что k-ый член суммы в данном разложении можно записать как S k a n-k b k, где 0kn, S k – числовой коэффициент

3 Выпишем коэффициенты данных разложений S k n k

4 Можно заметить, что k-ый коэффициент в разложении может быть записан по формуле:

5 Докажем этот факт (a+b) n можно записать как (a+b) n = (a+b)(a+b)(a+b)…(a+b) n произведений Нас интересует элемент S k a n-k b k. Давайте рассмотрим как он получается…

6 (a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)= …+S k a n-k b k +… Очевидно что элемент a n-k b k образуется при произведении n скобок, причем из n-k скобок на его образование взято слагаемое a, а из k скобок взято слагаемое b. Тогда S k можно рассматривать как число способов, каким может быть получена степень k при b, т.е. число скобок, из которых выбрано b. Тогда: S k = C n = k n! k! (n-k)!

7 Разложение может быть записано:

8 Задача 1 Найти четвертый член разложения: Учитывая, что отсчет k начинается с k=0, четвертый член соответствует k=3. Полная степень n=9. Тогда интересующий нас член разложения:

9 Задача 2 Найти член разложения не зависящий от x для разложения. Найдем номер этого члена. K-ый член имеет вид

10 Член не будет зависеть от x, если: Тогда искомый член

11 Самостоятельно: Найти члены разложения с наибольшим и наименьшим числовым коэффициентом

12 Треугольник Паскаля Запишем коэффициенты разложения (a+b) n в таблицу, добавив вариант n=0. (a+b) 0 =1

13 Получим таблицу, получившую название «треугольник Паскаля»: n k

14 Данную таблицу можно записать и в следующей форме

15 Заметим, что каждый элемент таблицы является суммой двух над ним стоящих =4+6

16 Докажем это k-ый элемент в n-ой строке находится под k-1 и k –ми элементами n-1 строки. Тогда надо проверить:

17Проверяем: