ПЕРВООБРАЗНАЯ, ИНТЕГРАЛ.

Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F(x)=f (x)

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2). Решение: F (x)=(1-2x) dx=dx-2xdx=x-x²+C. Т.к. F (3)=2 по условию, то получаем равенство: 2=3-3²+С; 2=3-9+С; 2=-6+С С=8. Тогда F (x)=x-x²+8.

Обозначения интегралов: где a и b это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу осью Ох, слева и справа прямыми х=a, x=b, находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=x², y=1, y=4 и осью Оу. Решение : Построим данную криволинейную трапецию. Искомую площадь S находим по формуле Ньютона- Лейбница. Здесь a=1, b=4. Выразим х через y :