Комплексные числа -минимальные условия; -определения; -арифметические операции; -свойства.

Основные числовые системы: Числовая система Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Комплексные числа, C Допустимые алгебраические операции Сложение и умножение. Сложение и умножение; вычитание. Сложение и умножение; вычитание и деление. Сложение и умножение; вычитание и деление; извлечение корня из х0 Любые операции

Построение множества С комплексных чисел: N Z Q R C

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С(1) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 С(2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С(3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом: i 2 =-1, i -мнимая единица

Так как, по условию, множество С содержит всё множество R, то имеет смысл рассматривать выражения вида: i; 2i; -3i; 0,6i Такие произведения называются чисто мнимыми. 3 i+5i=8i (сложение) 3i-5i=-2i (вычитание) 3i·5i=15i ( умножение) (3i)=27i ·i=-27i (степень) 3 2

Правила арифметических операций с чисто мнимыми числами: ai+bi=(a+b)i ai-bi=(a-b)i a(bi)=(ab)i (ai)(bi)=abi =-ab (a и b – действительные числа) 0· i=0 ( 0 – одновременно является и действительным, и чисто мнимым числом) 2

Решаем 32.5; 32.7; 32.8; 32.10; 32.11

Определения комплексных чисел: Комплексным числом называется сумма действительного числа а и чисто мнимого числа b i z= a +bi С a R, b R, i - мнимая единица Э Э Э

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a +bi=c +di a=c, b=d

Арифметические операции над комплексными числами: I.(сложение) Z +Z = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+(b+d)i II.(вычитание) Z – Z= (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(bi-di)=(a-c)+(b-d)i III.(произведение) Z ·Z= (a+bi) (c+di)=ac+adi+cbi+bdi =ac+(ad+cb)i-bd= =(ad-bd)+(ad+cb)i

Решаем 32.19; 32.20;

Самостоятельная работа Вариант 1. 1). Вычислите: (- i)(-2i); 12i·(-0,5i) 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az 1 - bz 2 если z 1 =-2, z 2 =1-3i, z=4+i 3) Назовите действительную и мнимую части числа i Вариант 2. 1). Вычислите: (-3 i)(-0,2i); -1,2i·(-5i) 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az 1 +bz 2, если z 1 =-2i, z 2 =4, z=-2+3i 3) Назовите действительную и мнимую части числа 2,3i-56

Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряжённое данному. Z=a+bi –комплексное число - сопряжённое число

Найдите сопряженные данным числа: i 21-i 1-23i -i-1 3i i -5i+2 4i+2 18i -2,7i

Свойства операции перехода к сопряжённому числу: Свойство 1. Если z= x+yi, то · z = К примеру: (x+3i)(x-3i) Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6. x 2 +9= n

Решаем:

Домашнее задание: Учить §32(определения и свойства)