Тема: Анализ учебника «Физика 10» (Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский, изд «Просвещение», 2005 г.) с точки зрения отражения в нем роли математики в физике на примере темы «Механика» Работу выполнил ученик 9«Б» класса ГОУ «Гимназия глобального образования 631» Приморского административного района города Санкт-Петербурга Салоп Кирилл Научный руководитель: Голубева Татьяна Валентиновна Конкурсная работа по олимпиаде «Кругозор –Умка» Номинация: Я – методист

Автор

Введение Математика – один из самых востребованных инструментов в естественных науках. Она используется во многих сферах. В своей повседневной работе физик использует математику для получения результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим его конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны формулироваться на математическом языке. 1. Это – наиболее оптимальный, по краткости и точности, способ хранения и передачи знаний между людьми.

2. Математика также используется для проверки истинности имеющихся знаний. Для проверки полученных знаний проводят эксперимент по проверке выдвинутой гипотезы. Если эксперимент подтверждает гипотезу, она считается верной.

3. Математике, отводится в физике и другая, более суверенная роль. Суть ее содержится в утверждении: чтобы стать объектом применения прикладной математики, законы природы должны формулироваться на языке математики. Последний способ применения наиболее прогрессивен. Если в выше упомянутых способах математика – лишь инструмент, причем не самый важный, то при создании новых знаний/теории математика – главный рабочий инструмент.

Между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и что именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы. В силу последнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными), мы не можем утверждать, является ли теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной. Мы находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано или поздно ему всегда удается подобрать ключ к очередной двери, но сомнения относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него остаются.

История возникновения математического аппарата науки И.Ньютон (1642–1727 гг.) в большей мере был математиком. Вспомните «бином Ньютона». Ньютон не считал физику своей специализацией. Вероятно, поэтому он долго медлил с публикацией своего труда «Математические начала натуральной философии» и только по настоянию друга книга увидела свет в 1687 году.

Поэтому Ньютон известен как ученый, впервые внедривший достаточно развитые математические методы описания физических явлений. С тех пор законы гравитации, инерции и движения материальных тел, воплощенные в простых и ясных математических формулах являются образцом для подражания. Математика заняла прочное место в физике. Но не как «хозяйка в доме», а, скорее, как служанка.

Однако, такая роль математики в физике длилась не долго. Такие математики, как Эйлер, Лаплас, Риман, позднее Гильберт, Минковский «совратили» физику, соблазнив её строго обоснованными математическими принципами. Математика основана на аксиомах, постулатах, теоремах, непререкаемых доказательствах и логических следствиях. Леонард Эйлер Пьер Симон Лаплас Георг Фридрих Бернгард Риман Давид Гильберт Герман Минковский

1. Оптимальный способ хранения и передачи знаний В своей повседневной работе физик использует математику для получения результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим его конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны формулироваться на математическом языке. Для показа всей важности использования математических понятий при формулировке законов физики, достаточно вспомнить, например, аксиомы квантовой механики, сформулированные в явном виде математиком фон Нейманом и в неявном виде физиком Дираком. Поль Адриен Морис Дирак Джон фон Нейман

Для формулировки законов природы физики отбирают лишь некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь небольшую долю всех имеющихся в математике понятий. Понятия выбираются из длинного списка математических понятий не произвольно: во многих, если не в большинстве, случаях необходимые понятия были независимо развиты физиками, и лишь впоследствии было установлено их тождество с понятиями, уже известными математикам.

Однако утверждать, как это нередко приходится слышать, будто так происходит потому, что математики используют лишь простейшие из возможных понятий, а последние встречаются в любом формализме, было бы неверно. Математические понятия вводятся не из-за их логической простоты (даже последовательности пар чисел понятия далеко не простые), а потому, что они особенно легко поддаются тонким логическим операциям и облегчают проведение глубоких и блестящих рассуждений.

Почему физики использует математику для формулировки своих законов природы? Математики считают, что физики довольно безответственно относится к своим действиям. В результате, когда они обнаруживает связь между двумя величинами, напоминающую какую-нибудь связь, хорошо известную в математике, они делают вывод, что обнаруженная им связь и есть именно та связь, поскольку никакие другие связи того же типа им неизвестны. В какой-то мере этот упрек справедлив. Важно заметить, однако, что математическая формулировка полученных физиком зачастую не слишком точных экспериментальных данных приводит в огромном числе случаев к удивительно точному описанию широкого класса явлений.

Это свидетельствует о том, что математический язык служит не только средством общения, но и является единственным языком, на котором мы можем говорить. Правильно будет сказать, что математический язык отвечает существу дела.

Рассмотрим движение планет. Это фундаментальный пример закона, формулируемого с помощью простых с точки зрения математика понятий и обладающего точностью, лежащей далеко за пределами всякого разумного ожидания.

Законы природы обладают почти фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости. Основанием физических теорий служат: принцип инвариантности физических теорий, эмпирический закон эпистемологии(гносеологии). Не будь принципов инвариантности, физические теории нельзя было бы подкреплять экспериментом. Не будь эмпирического закона эпистемологии, нам не хватило бы мужества и уверенности эмоциональных предпосылок, без которых нельзя было бы успешно исследовать законы природы.

2. Способ проверки истинности знаний Поскольку на любой стадии научного познания может быть сделана ошибка, то необходимо создать критерий, по которому оценивается истинность полученного знания. Критерием истинности является опыт. Результатами опыта могут являться: логический вывод «истинна/ложь» математический результат, для проверки которого нам потребуются системы единиц (на данный момент используется СИ) и способ оценки погрешностей.

2.1. Создание системы единиц В 1799 г. были утверждены два эталона - для единицы длины (метр) и для единицы массы (килограмм). В 1874 г. была введена система СГС, основанная на трёх единицах - сантиметр, грамм и секунда. Были также введены десятичные приставки от микро до мега. В 1889 г. 1-я Генеральная конференция по мерам и весам приняла систему мер, сходную с СГС, но основанную на метре, килограмме и секунде, так как эти единицы были признаны более удобными для практического использования. В последующем были введены базовые единицы для физических величин в области электричества и оптики.

В 1960 XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла стандарт, который впервые получил название «Международная система единиц (СИ)». В 1971 IV Генеральная конференция по мерам и весам внесла изменения в СИ, добавив, в частности, единицу количества вещества (моль). В настоящее время СИ принята в качестве законной системы единиц большинством стран мира и почти всегда используется в области науки (даже в тех странах, которые не приняли СИ).

В конце XVIII века в странах Европы существовало около 100 разных «футов», несколько десятков различных миль, более сотни «фунтов», что очень мешало торговле. В 1789 г. торговые центры Франции обратились в правительство с ходатайством о введении в законодательном порядке одинаковых для страны единиц измерения. Правительство поручило рассмотреть этот вопрос специальной комиссии, в которой работали математики, астрономы и физики. Среди них были Пьер Симон Лаплас, Гаспар Монж, Жан Антуан Никола Кондорсе.

Комиссия постановила принять за единицу измерения длины метр, определяемый как 1/40-миллионная длины меридиана, на котором расположен Париж. Для измерения длины меридиана была организована экспедиция под руководством астрономов и геодезистов, и в течении 7 лет (с 1792 по 1799 г.) проводились угловые замеры участка меридиана между Дюнкерком и Барселоной (около 1000 км). Затем на основании полученных результатов был изготовлен платиновый эталон метра. За единицу массы (килограмм) комиссия приняла массу 1 дм 3 (понятие метра уже было введено) дистиллированной воды при температуре 4 о С. Оба эталона Лаплас представил Национальному собранию которое и утвердило их 10 декабря 1799 года. Единицей времени, секундой, было решено считать 1/86400 часть средних солнечных суток.

Гораздо позже, В середине XIX-го века, по предложению Карла Фридриха Гаусса была создана система единиц, базирующаяся на 3-х основных физических величинах: длине, массе и времени. Система получила название абсолютной системы СГС. Основываясь на практических результатах внедрения в электродинамику абсолютных единиц системы СГС (сантиметр, грамм и секунда), ученые наработали солидную теоретическую базу.

Для расширения торговли, поддержания контактов ученых и инженеров разных стран требовалась общая система единиц. В 1875 г. 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию. В соответствии с этим документом страны вводили у себя метрическую систему мер и принимали за эталоны метра и килограмма прототипы, хранящиеся в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа.

В 1901 году итальянский инженер Джованни Джорджи на конгрессе Итальянской электротехнической ассоциации (А.Е.I.) в Риме доказал, что когерентную систему единиц можно получить, добавив к уже имеющимся 3 механическим единицам еще одну - электрическую. Так зародилась Международная система единиц (СИ).

Я продемонстрировал роль математики в создании систем единиц на примере СГС, а не СИ, потому что Гаусс провел основную работу в области алгебры, а СИ базируется уже на его исследованиях. Карл Фридрих Гаусс

2.3. Оценка погрешностей измерения Закон всемирного тяготения, который Ньютон установил и который он мог проверить лишь с точностью около 4%, при проверке оказался правильным с точностью до 0,0001% и настолько тесно ассоциировался с представлением об абсолютной точности, что физики лишь недавно осмелились вновь заняться исследованием пределов его точности.

При любом измерении имеется некая вероятность недостоверность результата, обусловленная погрешностью: метода, приборов, случайных факторов, обусловленных влиянием окружающей среды. Разработаны методики оценки погрешностей, они обязательны к применению при проведении любого эксперимента, но их рассмотрение не является целью данной работы.

3. Создание новых знаний ( теорий ) 3.1. Первым, кто выдвинул гипотезу на основании анализа уравнений, был Д.К. Максвелл, сделавший предположение о существовании единого электромагнитного поля и о его распространении в виде волн. Специальная теория относительности А.Эйнштейна появилась тоже благодаря анализу уравнений. С помощью математики А.А. Фридман сделал вывод о расширении Вселенной. Джеймс Клерк Максвелл Альберт Эйнштейн Александр Александрович Фридман

3.2. В современной физике существуют две теории, обладающие огромной мощью и представляющие большой интерес: квантовая теория, теория относительности. Своими корнями названные теории уходят во взаимно исключающие группы явлений.

Теория относительности применима к макроскопическим телам. Первичным в теории относительности считается явление совпадения, т.е. в конечном счете, столкновения частиц. Сталкиваясь, частицы определяют или, по крайней мере, должны были бы определять (если бы они были бесконечно малыми) точку в пространстве-времени. Квантовая теория своими корнями уходит в мир микроскопических явлений, и с ее точки зрения явление совпадения или столкновения, даже если оно происходит между частицами, не обладающими пространственной протяженностью, нельзя считать первичным и четко локализованным в пространстве – времени.

Квантовая теория и теория относительности оперируют различными математическими понятиями: первая понятием четырехмерного риманова пространства, вторая понятием бесконечномерного гильбертова пространства. До сих пор все попытки объединить обе теории оканчивались неудачей. Не удавалось найти математическую формулировку теории, по отношению к которой квантовая теория и теория относительности играли бы роль приближений.

Все физики считают, что объединение обеих теорий принципиально возможно и нам удастся в конце концов достичь его. Однако нельзя исключать и другую возможность что нам не удастся построить теорию, объединяющую квантовую механику и теорию относительности.

Приведенный пример показывает, что ни одну из названных возможностей объединение двух теорий и конфликт между ними нельзя отбрасывать заранее.

Макс Борн заметил, что некоторые правила вычислений, разработанные Гейзенбергом, формально совпадают с давно известными математикам правилами действий над матрицами. Тогда Борн, Иордан и Гейзенберг предложили заменить матрицами переменные, отвечающие координатам и скоростям в уравнениях классической механики. Они применили правила матричной механики к решению нескольких сильно идеализированных проблем и пришли к весьма удовлетворительным результатам, однако в те времена не было разумных оснований надеяться, что построенная ими матричная механика окажется верной и при более реальных условиях. Макс Борн Вернер Карл Гейзенберг Вольфганг Эрнст Паули

Сами авторы надеялись, что предложенная ими механика в основном окажется верной. Первым, кто несколькими месяцами позже применил матричную механику к решению реальной задачи атому водорода, был Паули. Полученные им результаты оказались в хорошем согласии с экспериментом. Такое положение дел вызывало удовлетворение, но было еще объяснимым, поскольку при выводе своих правил Гейзенберг исходил из проблем, в число которых входила старая теория атома водорода.

Чудо произошло лишь тогда, когда матричную механику или математически эквивалентную ей теорию применили к задачам, для которых правила Гейзенберга не имели смысла. При выводе правил Гейзенберг предполагал, что классические уравнения движения допускают решения, обладающие определенными свойствами периодичности. Уравнения же движения двух электронов в атоме гелия (или еще большего числа электронов в более тяжелых атомах) не обладают этими свойствами, и правила Гейзенберга в этих случаях неприменимы.

Сами авторы надеялись, что предложенная ими механика в основном окажется верной. Первым, кто несколькими месяцами позже применил матричную механику к решению реальной задачи атому водорода, был Паули. Полученные им результаты оказались в хорошем согласии с экспериментом. Такое положение дел вызывало удовлетворение, но было еще объяснимым, поскольку при выводе своих правил Гейзенберг исходил из проблем, в число которых входила старая теория атома водорода.

3.4. В квантовой механике применяются комплексные числа. Понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических наблюдений. Тем не менее, использование комплексных чисел в квантовой механике отнюдь не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке законов квантовой механики. Не только комплексным числам, но и так называемым аналитическим функциям суждено сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории, например в теории дисперсионных соотношений.

3.5. В то время как ньютоновская теория тяготения еще обладала наглядными связями с опытом, в формулировку матричной механики опыт входит лишь в форме правил Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига, основные идеи которой выдвинул Бете, была разработана Швингером. Это чисто математическая теория, и единственный вклад эксперимента в нее состоял в доказательстве существования предсказываемого ею измеримого эффекта. Согласие с вычислениями оказалось лучше 0,001.

На данный момент развитие физических знаний (выдвижение новых гипотез) возможно только с помощью математики. Метод аналогий оказывается неприемлемым, так как явления микромира не имеют аналогий в макромире, и, следовательно, не могут быть отражены в опыте ученого.

Общий вывод Главная цель, которую мы преследовали до сих пор,показать, что все законы природы представляют собой некие условные утверждения и охватывают лишь очень небольшую часть наших знаний об окружающем мире. Так, классическая механика наиболее известный прототип физической теории позволяет указывать по известным координатам и скоростям любых тел вторые производные от координат этих тел по времени, но ничего не говорит о существовании самих тел и значениях их координат и скоростей в данный момент времени. Истины ради, следует упомянуть и о том, что, как стало известно лет тридцать назад, даже условные утверждения, в форме которых мы выражаем законы природы, не являются абсолютно точными, поскольку представляют собой лишь вероятностные законы. Опираясь на них и используя то, что нам известно о состоянии неодушевленного мира в данный момент, мы можем лишь заключать более или менее разумные пари о его будущих свойствах.

Анализ учебника Поскольку третий способ применения математики в науке (создание новых знаний (теорий)) нельзя рассматривать на примере раздела «Кинематика» (так как на данном уровне мы еще можем использовать и использовать метод аналогий), то анализировать раздел я буду, основываясь на том, как в них отражены применения первых двух способов.

Первый способ (упрощенное хранение и передача информации ) полностью отражается в учебнике (иначе и быть не могло) в виде формул для расчетов. Сразу же хочется отметить что данный материал дан подробно, с графиками, диаграммами и таблицами. Также хочется отметить, что в 3 – 7 параграфах школьникам дается инструментарий для работы – все требуемые геометрические и математические правила и принципы работы с векторными величинами. Это хорошо тем, что даже в школах с низким уровнем подготовки по алгебре и геометрии трудности с вычислениями не будут являться препятствиями на пути к изучению физики. Первый и наиболее распространенный способ применения математики в науке отображен в учебнике наиболее основательно.

Второй способ (проверка имеющихся знаний ) отражен в учебнике из рук вон плохо. История создания системы единиц не изложена. Я допускаю, что данная тема могла быть упомянута в предыдущих частях учебника, но и здесь можно было не выделять под это параграф, а лишь упомянуть в дополнительных материалах. Которых, кстати, нет, как и алфавитного указателя. Теория погрешностей дана, но неполно и ущербно. Не упомянуты все классы погрешностей, например, обязательная к оценке методическая погрешность. Дана таблица инструментальных погрешностей без объяснения метода их расчета (хотя их можно вычислить, зная класс точности,указываемый на приборе). Поскольку эксперимент проводится не в идеальных условиях, на результат оказывают влияние различные факторы, называемые случайными. И метод их учета в учебнике не рассмотрен, хотя они дают самую большую погрешность.

Также я просмотрел относящуюся к разделу лабораторную работу «Изучение движения тела по окружности под действием силы тяжести» и нашел в ней некоторые смысловые недоработки. 1. Цель работы не соответствует методам её проведения. Это не исследование движения, а сравнение ускорений, определенных 3-мя различными способами: из кинематики геометрически из 2-го закона Ньютона.

2. Сама методика определения ускорения: опыт 1 - представляет сложность (за 50 периодов вращение затухнет); опыт 2 - лишен физического смысла (подсчет ведется при помощи геометрии); опыт 3 – не нагляден.

3.В результате предлагают сравнить ускорение, определенное 3 способами, при этом оценка погрешности не подразумевается. ИТОГ: Если выполнить эту работу с расчетом погрешности, то результаты бы не совпали бы.

ОБЩИЙ ВЫВОД ПО АНАЛИЗУ УЧЕБНИКА В целом учебник со своей главной задачей с точки зрения моей темы справляется. Из крупных недостатков – практическое отсутствие рассмотрения техники проверки знаний на истинность – весьма важного пункта при постановке эксперимента. С моей точки зрения раздел «Лабораторные работы» нуждается в переработке.

Использованная литература «Физика: учебника для 10 классов», Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский., М., «Просвещение», Эйнштейн Альберт. «Физика и реальность». А. Эйнштейн, Л. Инфельд. «Эволюция физики» Гейзенберг В. «Шаги за горизонт». Физический энциклопедический словарь.