Введение Задачи с параметрами давно вошли в практику вступительных экзаменов по математике ведущих учебных заведений Задачи с параметрами давно вошли в практику вступительных экзаменов по математике ведущих учебных заведений Задачи с параметрами позволяют в полной мере проверить знание основных разделов школьной математики, повысить уровень математического и логического мышления, навыки исследовательской деятельности Задачи с параметрами позволяют в полной мере проверить знание основных разделов школьной математики, повысить уровень математического и логического мышления, навыки исследовательской деятельности

Подробнее В задачах с параметрами наряду с неизвестными или переменными величинами (x,y,z,..) встречаются величины называемые параметрами (a,b,c,..), численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве В задачах с параметрами наряду с неизвестными или переменными величинами (x,y,z,..) встречаются величины называемые параметрами (a,b,c,..), численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве

Типы задач с параметрами Для каждого значения параметра или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству, найти все решения некоторого уравнения или неравенства Найти все значения параметра, при каждом из которых множество решений данного уравнения или неравенства удовлетворяет заданным условиям Определить количество решений данного уравнения или неравенства в зависимости от значений параметра Найти все значения параметра, при каждом из которых данное уравнение или неравенство имеет заданное число решений (в частности, не имеет или имеет бесконечное множество решений)

Решение уравнения Решить уравнение или неравенство с параметром – это значит для каждого допустимого значения параметра (т. е. такого значения параметра, при котором имеют смысл левая и правая части уравнения или неравенства) указать множество всех решений данного уравнения (неравенства) Решить уравнение или неравенство с параметром – это значит для каждого допустимого значения параметра (т. е. такого значения параметра, при котором имеют смысл левая и правая части уравнения или неравенства) указать множество всех решений данного уравнения (неравенства)

Пример 1 Решить уравнение a 2 x – a=x - 1 Решение: данное уравнение равносильно уравнению (a 2 – 1)x=a – 1. Достаточно рассмотреть следующие случаи: 1) а 2 – 10. Тогда 2) а 2 – 1=0 если а=1, то получаем 0*х=0 откуда х – любое число. Если а-1, то уравнение принимает вид 0*х=-2 и не имеет решений Ответ: Если а=1, то х – любое; если а-1, то нет решений; если а±1, то

Основные методы решения задач с параметрами Метод 1 (Аналитический) Этот метод заключается в применении стандартных алгоритмов решения уравнений (неравенств). Но при этом надо учитывать, что одного знания этих алгоритмов недостаточно для решения задач с параметрами, поскольку решение таких задач всегда содержит перебор и исследование возможных ситуаций.

Пример 2 При каких а уравнение ах 2 – 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение: При а=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а0 исходное уравнение, являясь квадратным, имеет два корня, если D=16-4a 2 -12a>

Метод 2 (Геометрический) Этот метод удобно применять, когда уравнение, неравенство, их система или совокупность отвечают простым геометрическим образам, т. е. задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т. п.

Пример 3 Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 3-|x-a|>x 2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. Решение: Представим данное неравенство в виде |x-a|

Пример 3 (чертёж) а1а1 а2а2 0 у х

Пример 3 Рассмотрим 2 случая расположения «уголка» с вершинами в точках (а 1,0) и (а 2,0). а 1 = касание «уголка» с параболой и может быть найдено из условия, когда уравнение х-а=3-х 2 имеет единственное решение: Р=1+4(а+3)=0 Р=1+4(а+3)=0 а 2 =прохождение прямой у = а-х через вершину параболы – точку (0,3), т.е. а 2 =3. легко видеть, что отрицательные решения будут существовать только тогда, когда абсцисса вершины «L» = а Є (а 1,а 2 ) Ответ :(-13/4,3)

Метод 3 (решение относительно параметра) При решении многих задач с параметром, на параметр можно взглянуть как на равноправную переменную и рассматривать уравнения и неравенства не только относительно одной из своих неизвестных, но и относительно параметра

Пример 4 Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства (а-х 2 )(а+х-2)

Пример 4 (чертёж) х у а=2-х а=х 2 3 1

Пример 4 Теперь, если при каком-то фиксированном значениях а 0 прямая а=а 0 в пересечении с полученной областью содержит только лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию |x|>1, то а 0 – одно из искомых значений параметра. Отсюда приходим к выводу, что в данной задаче Ответ: aЄ(-;0]U[3;+)

Заключительные рекомендации При решении задач с параметрами, например, возьмите значения параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение этого параметра искомым для данной задачи. Подстановка фиксированных значений параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи При решении задач с параметрами, например, возьмите значения параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение этого параметра искомым для данной задачи. Подстановка фиксированных значений параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи

Рекомендации Для того, чтобы освоить приёмы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения. Для того, чтобы освоить приёмы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.