Автор: Кухаренко Т.В. Учитель математики МОУ СОШ 169

1. ПРЕДСТАВЬТЕ КАРТИНУ. НА МОРЕ ВЕТЕР, ВОЛНЫ НЕВДАЛИКЕ ОТ БЕРЕГА ПОКАЧИВАЕТСЯ НА ВОЛНАХ ПАРУСНОЕ СУДНО, НА КАПИТАНСКОМ МОСТИКЕ КОТОРОГО СТОИТ ХРИСТОФОР КОЛУМБ. ОТ КОРОБЛЯ ДО БЕРЕГА ПОКАЧИВАЮТСЯ НА ВОЛНАХ ДИОНКИ С ТУЗЕМ11АМИ. КАК ВЫ ДУМАЕТЕ ' КТО ИЗ ЛЮДЕЙ НАХОДИТСЯ НА НАИБОЛЕЕ ВЫСОКОЙ ОТМЕТКЕ НАД УРОВНЕМ МОРЯ?1. ПРЕДСТАВЬТЕ КАРТИНУ. НА МОРЕ ВЕТЕР, ВОЛНЫ НЕВДАЛИКЕ ОТ БЕРЕГА ПОКАЧИВАЕТСЯ НА ВОЛНАХ ПАРУСНОЕ СУДНО, НА КАПИТАНСКОМ МОСТИКЕ КОТОРОГО СТОИТ ХРИСТОФОР КОЛУМБ. ОТ КОРОБЛЯ ДО БЕРЕГА ПОКАЧИВАЮТСЯ НА ВОЛНАХ ДИОНКИ С ТУЗЕМ11АМИ. КАК ВЫ ДУМАЕТЕ ' КТО ИЗ ЛЮДЕЙ НАХОДИТСЯ НА НАИБОЛЕЕ ВЫСОКОЙ ОТМЕТКЕ НАД УРОВНЕМ МОРЯ? Ответ: ВЫШЕ ВСЕХ ХРИСТОФОР КОЛУМБ, НИЖ 1.ПРЕДСТАВЬТЕ КАРТИНУ. НА МОРЕ ВЕТЕР, ВОЛНЫ НЕВДАЛЕКЕ ОТ БЕРЕГА ПОКАЧИВАЕТСЯ НА ВОЛНАХ ПАРУСНОЕ СУДНО, НА КАПИТАНСКОМ МОСТИКЕ КОТОРОГО СТОИТ ХРИСТОФОР КОЛУМБ. ОТ КОРОБЛЯ ДО БЕРЕГА ПОКАЧИВАЮТСЯ НА ВОЛНАХ ДИОНКИ С ТУЗЕМЦАМИ. КАК ВЫ ДУМАЕТЕ, КТО ИЗ ЛЮДЕЙ НАХОДИТСЯ НА НАИБОЛЕЕ ВЫСОКОЙ ОТМЕТКЕ НАД УРОВНЕМ МОРЯ?

Ответ: ВЫШЕ ВСЕХ ХРИСТОФОР КОЛУМБ, НИЖЕ ТОТ ТУЗЕМЕЦ, ЧЬЯ ЛОДКА НАХОДИТСЯ МЕЖДУ ВОЛНАМИ.

2. КАК УЗНАТЬ КАКОЙ ИМЕННО ТУЗЕМЕЦ В ЛОДКЕ ПО УРОВНЮ ОПУСТИЛСЯ НИЖЕ ВСЕХ ( ИМЕЕТ НАИМЕНЬШУЮ ОТМЕТКУ ).

Ответ: СРАВНИТЬ ПО ОЧЕРЕДИ КАЖДОГО С КАЖДЫМ.

3.А ПОЧЕМУ МЫ ВСЕГДА МОЖЕМ НАЙТИ НА МОРЕ ЛЮБУЮ ПЛАВАЮЩУЮ ВЕЩЬ ?

Ответ: ПОТОМУ ЧТО ПОВЕРХНОСТЬ МОРЯ НЕПРЕРЫВНА.

4. ПРЕДСТАВЬТЕ ХОЛМИСТЫЙ ПЕЙЗАЖ ХОЛМИСТЫЙХОЛМИСТЫЙ ПЕЙЗАЖ. В ЧЕМ ЕГО СХОДСТВО С ВОЛНУЮЩИМСЯ МОРЕМ ?

Ответ: ОБА ИМЕЮТ НЕПРЕРЫВНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ,

5. ПУТЕШЕСТВУЮТ ТУРИСТЫ. КОГДА ОНИ НАХОДЯТСЯ НА ВЫСОКИХ ОТМЕТКАХ, А КОГДА НА НИЗКИХ НАД УРОВНЕМ МОРЯ ?

Ответ: КОГДА ПОДНИМАЮТСЯ НА ВЕРШИНЫ - ЭТО ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ВОСХОЖДЕНИЯ, А КОГДА ОПУСКАЮТСЯ - ЭТО МИНИМАЛЬНЫЕ ОТМЕТКИ НАД УРОВНЕМ МОРЯ.

6. БЫВАЕТ СЛУЧАЙ, КОГДА НЕВОЗМОЖНО НАЙТИ МАКСИМАЛЬНУЮ ИЛИ МИНИМАЛЬНУЮ ОТМЕТКУ. ЧТО ЭТО ТАКОЕ ?

Ответ: ГЛУБОКИЙ РАЗЛОМ ЗЕМНОЙ КОРЫ ПРОСТИРАЮЩИЙСЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ ИЛИ ПРОПАСТЬ.

7.ЧТО В ЭТОМ СЛУЧАЕ ПРОИЗОШЛО С ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ?

Ответ: ОНА ПОТЕРЯЛА СВОЮ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СТАЛА РАЗРЫВНОЙ

8. ВЕРНЕМСЯ К ЛОДКАМ, КАЧАЮЩИМСЯ НА ВОЛНАХ. КОГЛА ЛОДКА НАХОДИТСЯ НА ГРЕБНЕ, КАКОЙ ОНА ИМЕЕТ УГОЛ С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ..

Ответ: нулевой

9. А ЕСЛИ ЛОДКА НАХОДИТСЯ МЕЖДУ ВОЛНАМИ ВО ВПАДИНЕ КАКОЙ УГОЛ НАКЛОНА ОНА ИМЕЕТ К ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ?

Ответ: ОПЯТЬ НУЛЕВОЙ.

10. ЧТО ЭТО ВАМ НАПОМИНАЕТ?

Ответ: КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ.

11. МОЖЕТ ЛИ ОДИН ИЗ ТУЗЕМЦЕВ ПОДНЯТЬСЯ ВЫШЕ В СВОЕЙ ЛОДКЕ (ПИРОГЕ), ЧЕМ КОЛУМБ НА КОРАБЛЕ ?

Ответ: МОЖЕТ В ШТОРМ, ЕСЛИ ЕГО ПОДНИМЕТ ОГРОМНАЯ ВОЛНА, А ФРЕГАТ КОЛУМБА ОПУСТИТ.

12. КАК ВЫ ДУМАЕТЕ, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ f(x) НЕПРЕРЫВНА НА ОТРЕЗКЕ, ТО ЧТО ОНА ОБЯЗАТЕЛЬНО ИМЕЕТ НА ЭТОМ ОТРЕЗКЕ Рисунок 1Рисунок 2

Ответ: НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ. Рисунок 1 Рисунок 2

13.ГДЕ НАХОДИТСЯ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ГДЕ НАИБОЛЬШЕЕ НА РИС. 1, РИС. 2

Ответ: max f(x)= f(b) min f(x)= f(a) РИС. 1. РИС. 2. max f(x)= f(x2) min f(x)= f(x1)

16. ЧЕМ ОТЛИЧАЮТСЯ ПОЛОЖЕНИЯ max f(x), min f(x)ОТ ПОЛОЖЕНИЙ max f(x), min f(x) НА РИСУНКЕ 1 НА РИСУНКЕ 2.

Ответ: НА РИС. 1 ОНИ НАХОДЯТСЯ НА КОНЦАХ ПРОМЕЖУТКА[a, b],А НА РИС.2 ВО ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ X1, X2 И СОВПАДАЮТ С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

17. В ЧЕМ РАЗЛИЧИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ f(x) ОТ ЕЕ НАИБОЛЬШЕГО ИЛИ НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ?

Ответ: ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ f(x) НЕОБЯЗАТЕЛЬНО НАИБОЛЬШЕЕ ИЛИ НАИМЕНЬШЕЕ НАИБОЛЬШЕЕ

18. ДОКАЖЕМ ТЕОРЕМУ ВЕЙЕРШТРАССА. «НЕПРЕРЫВНАЯ НА ОТРЕЗКЕ [a, b] ФУНКЦИЯ f(x) ПРИНИМАЕТ НА ЭТОМ ОТРЕЗКЕ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ» Т.Е. СУЩЕСТВУЮТ точки ОТРЕЗКЕ [a, b], в которых f(x) принимает наибольшее и НАИМЕНЬШЕЕ НА [a, b] ЗНАЧЕНИЯ. НАЧНЕМ ДОКАЗЫВАТЬ С ВОПРОСА : ЧТО ТАКОЕ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ?

Ответ: ЭТО ТЕ Х ПРИ КОТОРЫ f (x )=0 ИЛИ f (x) НЕ СУЩЕСТВУЕТ

19. ЧТО МОЖЕТ НАХОДИТЬСЯ В ТОЧКЕ, ГДЕ f (x)=0

Ответ: ЭКСТРЕМУМ f (x)

20. Если ИМЕЕМ n КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК НА [a, b] ТО СКОЛЬКО МОЖЕТ БЫТЬ ЭКСТРЕМУМОВ f(x) НА [a, b] ?

Ответ: n штук

21. КАК УЗНАТЬ КАКОЙ ИЗ НИХ НАИБОЛЬШИЙ И НАИМЕНЬШИЙ ?

Ответ: НЕОБХОДИМО ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ f (x) В КАЖДОЙ ИЗ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА И СРАВНИТЬ.

22. ВСЕГДА ЛИ ЭКСТРЕМУМ СОВПАДАЕТ С НАИБОЛЬШИМ ИЛИ НАИМЕНЬШИМ ЗНАЧЕНИЕМ f (Х) НА [a, b] ?

Ответ: нет наибольшим и наименьшим значением на f(X) на [a, b] может быть значение f(X) на концах отрезка

23. ПУСТЬ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ f(X) НЕ ИМЕЕТ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК НА [a, b]. ГДЕ ТОГДА РАСПОЛОЖЕНЫ ЕЕ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ?

Ответ: ТОЛЬКО НА КОНЦАХ ОТРЕЗКА [a, b]

24. ДОПУСТИМ f(X) - ВОЗРАСТАЮЩАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА [a, b] ГДЕ min f(x), max f(x)?

25. А ЕСЛИ f(X)- НЕПРЕРЫВНАЯ УБЫВАЮЩАЯ НА [a, b] ГДЕ min f(x), max f(x)?

26. ЕСЛИ НА ИНТЕРАВАЛЕ [a, b] НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ f(x) ИМЕЕТ n КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК, ТОГДА, КАК ИСПОЛЬЗУЯ ЭТИ n ТОЧЕК, СДЕЛАТЬ n +1 ИНТЕРВАЛОВ, НА КОТОРЫХ НЕТ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ?

Ответ: КОНЦАМИ ИНТЕРВАЛОВ СДЕЛАТЬ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ.

27. ЧТО МОЖНО СКАЗАТЬ ПРО ФОРМУ ГРАФИКОВ НА ЭТИХ n+1 ИНТЕРВАЛАХ ?

Ответ: НА КАЖДОМ ИНТЕРВАЛЕ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ЛИБО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ, ЛИБО УБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ.

28. ЕСЛИ ЭТО ТАК, ТО КАК НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИf(x) на [a, b]

Ответ: ВЫЧИСЛИТЬ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ НА ВСЕХ ИНТЕРВАЛАХ И ВЫБРАТЬ ИЗ НИХ САМОЕ НАИБОЛЬШЕЕ И САМОЕ НАИМЕНЬШЕЕ

29. ПРИМЕР 1. НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ y(x) = X 3 -1, 5X 2 - 6X + 1 НА ОТРЕЗКЕ [-2, 0] ЧТО ОПРЕДЕЛЯЕМ СНАЧАЛА ?

Ответ: КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ, Т.Е. СОСТАВЛЯЕМ УРАВНЕНИЕ У'(X)=0 3X-3X-6=0 X -X-2=0 Определите корни этого уравнения. 2 2

Ответ: X 1 = -1, X 2 = 2

31. КАКИЕ ИЗ НАЙДЕННЫХ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ПОПАДАЮТ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ[-2, 0]

Ответ: только X= -1

32. ЧТО СЛЕДУЕТ ДАЛЕЕ СДЕЛАТЬ, ЧТОБЫ ВЫЯСНИТЬ КАКИЕ ТОЧКИ СООТВЕТСТВУЮТ НАИБОЛЬШЕМУ И НАИМЕНЬШЕМУ ЗНАЧЕНИЯМ НА ОТРЕЗКЕ [-2, 0]

Ответ: СРАВНИТЬ 3 ЗНАЧЕНИЯ Y(-2) Y(-1) Y(0) СДЕЛАЙТЕ ЭТО Y(-2) = -8 – 1, 5 * 4 – 6* (-2) + 1 = -1 ; Y(-1) = 4,5 ; Y(0) =1 ЗНАЧИТ: max Y(X) = Y(-1) = 4, 5 [-2, 0] min Y(X) = Y(-2) = 1 [-2,0]

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции Y= f(X) на отрезке [a, b] 1.Найти f (X) 2.Найти критические точки из условий f (X) =0 или f (X) не существует 3.Отобразить те из критических точек Х, что лежат внутри [a, b] 4. Сравнить f(a) f(b) f(X0)