«Как с помощью бумаги и ножниц получить формулы площадей плоских геометрических фигур?» Муниципальное общеобразовательное учреждение Калининская средняя общеобразовательная школа Гусевского района Калининградской области 2007 год Тема проекта: Исполнители:Голеницкая Мария, Кузнецова Мария, Пиняскин Константин. Руководитель:учитель математики Кошарный Владимир Иванович (9 класс)

Цели проекта: Пути решения: Пути решения: 1. Изучение литературы, сбор нужной информации. 2. Практикум в решении задач на разрезание. 3. Практическое исследование и поиск способов вывода формул площадей плоских фигур. 1. Изучить понятия равносоставленные фигуры, равновеликие фигуры. 2. Познакомиться с задачами на разделение и способами их решения. 3. Вывести формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции путём разрезания фигуры на части и прикладыванием этих частей.

Равносоставленные фигуры Равносоставленные фигуры - фигуры, которые можно разрезать на неодинаковое число соответственно равных частей. Равновеликие фигуры Равновеликие фигуры - плоские фигуры, имеющие равные площади. Теорема 1: Равносоставленные многоугольники – равновелики,то есть имеют одинаковую площадь. Теорема 2: Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Перекраивание греческого креста в равновеликий (равносоставленный) квадрат.

Теорема Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Дано: ABCD-параллелограмм, AD-основание, BH-высота Доказать: S ABCD =AD x BH Доказательство 1.Перекроим параллелограмм в прямоугольник. Для этого разрежем его по высоте BH, и треугольник ABH приложим справа как показано на рисунке. Получим прямоугольник HBCH 1, равносоставленный с параллелограммом ABCD. Но равносоставленные фигуры являются равновеликими, т. е. S HBCH 1 =S ABCD. 2.S HBCH 1 =BC x BH. Но BC=AD по свойству параллелограмма. Тогда S ABCD =AD x BH. Теорема доказана. Тогда S ABCD =AD x BH. Теорема доказана. Площадь параллелограмма

Площадь треугольника Теорема Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Дано: ABC-треугольник, AC- основание, BH- высота. Доказать: S ABC = ½AC x BH S ABC = ½ AC x BH Доказательство Перекроим треугольник в параллелограмм. Для этого проведём среднюю линию MN и разрежем треугольник ABC на две части. Треугольник MNC приложим к отрезку BM как показано на рисунке. Получим параллелограмм ABDN, равносоставленный с треугольника ABC, а следовательно и равновеликий. Тогда S ABDN =S ABC S ABDH =AN x BH. Но AH=1/2 AC, т. к. N-середина AC. Следовательно S ABC =1/2 AC x BH. Теорема доказана.

Площадь трапеции Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Дано: ABCD-трапеция, AD и BC- основания, BH-высота Доказать: S ABCD =1/2 (AD + BC) x BH Доказательство Перекроим трапецию в треугольник. Для этого разрежем её по отрезку BM, где M- середина стороны CD.Треугольник BCM приложим к отрезку MD как показан на рисунке. Получим треугольник ABN равносоставленный с трапецией ABCD, а следовательно и равновеликий, т. е. S ABN =S ABCD S ABN =1/2 AN x BH, (1) Но AN =AD + DN, а DN = BC. Откуда AN=AD + BC. Подставим в (1), получим S ABCD =1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доказана.

Результаты исследования: 1. Найдены способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма в равносоставленный прямоугольник; трапеции в равносоставленный треугольник. 2. Найдены способы доказательства теорем о площадях параллелограмма, треугольника, трапеции путём разрезания фигур на части, составления из этих частей равносоставленных фигур, площади которых уже известны.

Литература: 1.Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М. : МЦНМО, Лингрен Г. Занимательные задачи на разрезание. Перевод с английского Ю.Н. Сударёва. Под редакцией и с послесловием И.М. Яглома. – М. : Мир, Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. Составил и редактировал американский издатель М. Гарднер. Перевод с английского Ю.Н. Сударёва. - М. : Мир, Энциклопедический словарь юного математика. Составил А.П. Савин - М. : Педагогика, Мищенко Т.М., Рослова Л.О. Курс по выбору для IX класса. Избранные вопросы математики. Математика в школе. – – с Произволов В.В. Геометрия ножниц в задачах. Математика в школе. – с Погорелов А.В. Геометрия 7 – 9 кл. - М. : Просвещение. – 2002.