Занятие элективного курса по алгебре в 10 классе. Учитель математики Ковальчук Л.Л. МОУ СОШ

Cхема Горнера Схема Горнера - это алгоритм вычисления значения многочлена при определенном значении переменной. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.

Горнер Вильямc Джордж ( )-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре. В 1819г. опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII в.) Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х-а.

СХЕМА ГОРНЕРА способ деления многочлена n-й степени на линейный двучлен х а, основанный на том, что коэффициенты неполного частного и остаток r связаны с коэффициентами делимого многочлена и с а формулами:

Вычисления по схеме Горнера располагают в таблицу: Пример 1. Разделить Неполное частное равно х 3 х 2 +3х 13 и остаток равен 42=f(3).

Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

Пример2. Докажем, что многочлен Р(х)=х 4 -6х 3 +7х-392 делится на х-7, и найдем частное от деления. Решение. Используя схему Горнера, найдем Р(7): Отсюда получаем Р(7)=0, т.е. остаток при делении многочлена на х-7 равен нулю и, значит, многочлен Р(х) кратен (х-7).При этом числа во второй строке таблицы являются коэффициентами частного от деления Р(х) на (х-7), поэтому Р(х)=(х-7)(х 3 +х 2 +7х+56)

Разложить на множители многочлен x 3 – 5x 2 – 2x Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), где Q(x) многочлен второй степени

Полученные числа 1, 3, 8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x – 2. Значит, результат деления: 1 · x 2 + (–3)x + (–8) = x 2 – 3x – 8. Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак: x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)(x 2 – 3x – 8).

Например, деление по схеме Горнера многочлена 2x 3 -4x 2 +5 на многочлен x + 3 запишется так: В процессе деления сначала заполняется верхняя строка и крайняя левая клетка нижней строки; затем по приведенным выше формулам определяются коэффициенты частного – по очереди, начиная со старшего, – и помещаются в клетки нижней строки. Последним определяется остаток, который оказывается в крайней правой клетке. В нашем примере частное равно 2x x+30, а остаток равен -85.)

Спасибо за внимание! Успехов!