9. Специальная теория относительности 9.1 Недостатки механики Ньютона-Галилея 1) В механике Ньютона взаимодействие частиц описывается с помощью потенциальной энергии, являющейся функцией координат частиц U(r 1, r 2,..., r N ). Поэтому изменение положения какой-либо из частиц отражается на остальных частицах в тот же момент времени. Значит, предполагается, что взаимодействие распространяется мгновенно. Опыт, однако, показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Если с одним телом произошли какие-то изменения, то на другом теле это отражается лишь через конечный промежуток времени. Взаимодействие между телами не может распространяться со скоростью большей скорости света в вакууме. 9.1 Недостатки механики Ньютона-Галилея 1) В механике Ньютона взаимодействие частиц описывается с помощью потенциальной энергии, являющейся функцией координат частиц U(r 1, r 2,..., r N ). Поэтому изменение положения какой-либо из частиц отражается на остальных частицах в тот же момент времени. Значит, предполагается, что взаимодействие распространяется мгновенно. Опыт, однако, показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Если с одним телом произошли какие-то изменения, то на другом теле это отражается лишь через конечный промежуток времени. Взаимодействие между телами не может распространяться со скоростью большей скорости света в вакууме.

2) Механика Ньютона справедлива для описания движения тел, имеющих скорости много меньшие скорости света. Для быстрых частиц ее результаты не согласуются с экспериментом. В частности, она не объясняет закон распространения света. Согласно классическому закону сложения скоростей ( ) скорость света должна зависеть от относительной скорости источника и приемника света. Однако, в опыте Майкельсона и Морли (1887 г.) такая зависимость не обнаруживалась. Это говорило также об отсутствии эфира – среды, в которой распространяется свет. 2) Механика Ньютона справедлива для описания движения тел, имеющих скорости много меньшие скорости света. Для быстрых частиц ее результаты не согласуются с экспериментом. В частности, она не объясняет закон распространения света. Согласно классическому закону сложения скоростей ( ) скорость света должна зависеть от относительной скорости источника и приемника света. Однако, в опыте Майкельсона и Морли (1887 г.) такая зависимость не обнаруживалась. Это говорило также об отсутствии эфира – среды, в которой распространяется свет.

3) В механике Ньютона координаты точки меняются при переходе к новой инерциальной системе отсчета, тогда как время считается абсолютным, одним и тем же во всех инерциальных системах. Поэтому, если какие-то два события являются одновременными для одного наблюдателя, то они должны быть одновременными и для любого другого наблюдателя. То есть понятие одновременности абсолютно в механике Ньютона. Однако, конечность распространения сигналов приводит к относительности понятия одновременности. 3) В механике Ньютона координаты точки меняются при переходе к новой инерциальной системе отсчета, тогда как время считается абсолютным, одним и тем же во всех инерциальных системах. Поэтому, если какие-то два события являются одновременными для одного наблюдателя, то они должны быть одновременными и для любого другого наблюдателя. То есть понятие одновременности абсолютно в механике Ньютона. Однако, конечность распространения сигналов приводит к относительности понятия одновременности.

9.2 Постулаты специальной теории относительности В 1905 г. Эйнштейн создал релятивистскую механику (специальную теорию относительности), которая описывает движение тел с любыми скоростями. В основе теории Эйнштейна лежат два, подтверждающихся опытом постулата: 1) Принцип относительности – все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах. Этот принцип расширяет механический принцип относительности Галилея на все физические явления. Он означает, что уравнения, выражающие законы природы, должны иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. 9.2 Постулаты специальной теории относительности В 1905 г. Эйнштейн создал релятивистскую механику (специальную теорию относительности), которая описывает движение тел с любыми скоростями. В основе теории Эйнштейна лежат два, подтверждающихся опытом постулата: 1) Принцип относительности – все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах. Этот принцип расширяет механический принцип относительности Галилея на все физические явления. Он означает, что уравнения, выражающие законы природы, должны иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

2) Принцип постоянства скорости света – скорость света в вакууме не зависит от движения источников света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах. Ее численное значение равно с км/c 3· 10 8 м/с Большой величиной скорости света объясняется то, что на практике обычно достаточно точной оказывается механика Ньютона. Из принципа относительности следует, что скорость света является скоростью распространения всех основных взаимодействий - электромагнитного, гравитационного, сильного и слабого. В природе невозможно движение тел и передача сигналов со скоростью большей скорости распространения света в вакууме. 2) Принцип постоянства скорости света – скорость света в вакууме не зависит от движения источников света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах. Ее численное значение равно с км/c 3· 10 8 м/с Большой величиной скорости света объясняется то, что на практике обычно достаточно точной оказывается механика Ньютона. Из принципа относительности следует, что скорость света является скоростью распространения всех основных взаимодействий - электромагнитного, гравитационного, сильного и слабого. В природе невозможно движение тел и передача сигналов со скоростью большей скорости распространения света в вакууме.

9.3 Относительность одновременности событий Покажем, что принцип постоянства скорости света и конечность ее значения приводят к относительности понятия одновременности. Рассмотрим две инерциальные системы координат К и К´ с параллельными осями. Пусть система К´ движется относительно системы К вправо вдоль осей y и y´ со скоростью. Пусть из точки A на оси y´ одновременно отправляются световые сигналы в направлении точек В и С, равноудаленных от точки A. 9.3 Относительность одновременности событий Покажем, что принцип постоянства скорости света и конечность ее значения приводят к относительности понятия одновременности. Рассмотрим две инерциальные системы координат К и К´ с параллельными осями. Пусть система К´ движется относительно системы К вправо вдоль осей y и y´ со скоростью. Пусть из точки A на оси y´ одновременно отправляются световые сигналы в направлении точек В и С, равноудаленных от точки A.

Поскольку скорость распространения сигнала в системе K´, как и во всякой инерциальной системе, равна в обоих направлениях c, то в системе K´ сигналы достигнут точек B и C в один и тот же момент времени. Однако, эти же два события (приход сигналов в точки B и C ) не будут одновременными для наблюдателя в системе K, поскольку в ней точка B движется навстречу свету, а точка C удаляется от него. Поэтому свет раньше достигнет точку B, значит время в разных системах течет по разному.

9.4 Синхронизация часов Для описания любого события необходимо указать его место и время. Место определяется координатной сеткой, нанесенной с помощью масштаба. Время определяется с помощью часов, роль которых может выполнять любой периодический процесс. Ход часов в разных точках необходимо синхронизировать. Для сверки часов используем световой сигнал. Пусть имеются две точки А и В. В момент времени t 1, отсчитанный по часам в точке А, в сторону точки В пошлем световой сигнал. Этот сигнал, достигнув точку В отражается от зеркала и возвращается в точку А в момент времени t Синхронизация часов Для описания любого события необходимо указать его место и время. Место определяется координатной сеткой, нанесенной с помощью масштаба. Время определяется с помощью часов, роль которых может выполнять любой периодический процесс. Ход часов в разных точках необходимо синхронизировать. Для сверки часов используем световой сигнал. Пусть имеются две точки А и В. В момент времени t 1, отсчитанный по часам в точке А, в сторону точки В пошлем световой сигнал. Этот сигнал, достигнув точку В отражается от зеркала и возвращается в точку А в момент времени t 2.

Часы в точках А и В считаются синхронными, если в момент прихода света в точку В часы в В показывали время, равное Определение События в точках А и В считаются одновременными, если показания синхронизированных часов в точках А и В совпадают. Часы в точках А и В считаются синхронными, если в момент прихода света в точку В часы в В показывали время, равное Определение События в точках А и В считаются одновременными, если показания синхронизированных часов в точках А и В совпадают.

9.5 Преобразования Лоренца Преобразования Галилея между координатами разных инерциальных систем приводят к зависимости скорости света от скорости движения инерциальных систем, что противоречит опыту. Поэтому они должны быть изменены. Найдем новые преобразования. Пусть инерциальная система К´ движется относительно другой инерциальной системы К со скоростью вдоль оси y. Рассмотрим некоторую точку А на этой оси. Ее координаты вдоль осей Х и Z в двух системах совпадают x = x´ ; z = z´ Преобразования Галилея между координатами разных инерциальных систем приводят к зависимости скорости света от скорости движения инерциальных систем, что противоречит опыту. Поэтому они должны быть изменены. Найдем новые преобразования. Пусть инерциальная система К´ движется относительно другой инерциальной системы К со скоростью вдоль оси y. Рассмотрим некоторую точку А на этой оси. Ее координаты вдоль осей Х и Z в двух системах совпадают x = x´ ; z = z´

Получим формулы, связывающие ( y, t) с (y´, t´ ). Вследствие однородности и изотропности пространства и однородности времени эта связь должна быть линейной, то есть y = 1 y´ + 2 t´+ 3 (9.5.1) где 1, 2, 3 - некоторые константы, которые надо найти. Формула (9.5.1) справедлива для любой точки на оси y. Применим ее к началам координат двух систем О и О ´. Пусть в начальный момент времени t = t´ = 0 положения точек О и О ´ совпадали y(t = 0) = y´(t´= 0) = 0 Чтобы это выполнялось необходимо положить 3 = 0. Получим формулы, связывающие ( y, t) с (y´, t´ ). Вследствие однородности и изотропности пространства и однородности времени эта связь должна быть линейной, то есть y = 1 y´ + 2 t´+ 3 (9.5.1) где 1, 2, 3 - некоторые константы, которые надо найти. Формула (9.5.1) справедлива для любой точки на оси y. Применим ее к началам координат двух систем О и О ´. Пусть в начальный момент времени t = t´ = 0 положения точек О и О ´ совпадали y(t = 0) = y´(t´= 0) = 0 Чтобы это выполнялось необходимо положить 3 = 0.

В последующие времена начало координат О в системе К будет иметь прежнее значение у = 0. В системе же К´ положение точки О меняется и ее координата будет равна у´ = -Vt´, что можно переписать как у´ + Vt´ = 0. Это значит, что у´+Vt´ обращается в ноль вместе с у, поэтому они должны быть пропорциональными друг другу, что требует равенства коэффициентов 1 = 2 /V = Следовательно y = (y´ + Vt´ ) (9.5.2) В последующие времена начало координат О в системе К будет иметь прежнее значение у = 0. В системе же К´ положение точки О меняется и ее координата будет равна у´ = -Vt´, что можно переписать как у´ + Vt´ = 0. Это значит, что у´+Vt´ обращается в ноль вместе с у, поэтому они должны быть пропорциональными друг другу, что требует равенства коэффициентов 1 = 2 /V = Следовательно y = (y´ + Vt´ ) (9.5.2)

Аналогично, с течением времени начало координат О ´ в системе К´ будет иметь неизменную координату у´ = 0, а в системе К - меняющуюся координату у = Vt. Это снова означает, что y´ и (у – Vt) обращаются в нуль вместе, а значит пропорциональны друг другу y´ = (y - Vt ) (9.5.3) В силу равноправности систем К и К´ коэффициенты и должны совпадать =. Полученные связи координат (9.5.2) и (9.5.3) должны выполняться для любой точки на осях y и y'. Аналогично, с течением времени начало координат О ´ в системе К´ будет иметь неизменную координату у´ = 0, а в системе К - меняющуюся координату у = Vt. Это снова означает, что y´ и (у – Vt) обращаются в нуль вместе, а значит пропорциональны друг другу y´ = (y - Vt ) (9.5.3) В силу равноправности систем К и К´ коэффициенты и должны совпадать =. Полученные связи координат (9.5.2) и (9.5.3) должны выполняться для любой точки на осях y и y'.

Для нахождения коэффициента используем принцип постоянства скорости света. Пусть в начальный момент времени t = t´ = 0 из начала координат вдоль осей у и y´ был послан световой сигнал. Этот сигнал достигнет точку А в системе К в некоторый момент времени t, поэтому ее координату можно записать как у = сt. В системе К´ этот же сигнал движется с той же скоростью с и достигнет точку А в момент времени t´, поэтому ее координата в системе К´ равна y´ = ct´. Следовательно, для точки А должны выполняться соотношения y = (y´ + V t´) ; у = сt (9.5.4) y´ = (y - Vt ) ; y´ = ct´ Для нахождения коэффициента используем принцип постоянства скорости света. Пусть в начальный момент времени t = t´ = 0 из начала координат вдоль осей у и y´ был послан световой сигнал. Этот сигнал достигнет точку А в системе К в некоторый момент времени t, поэтому ее координату можно записать как у = сt. В системе К´ этот же сигнал движется с той же скоростью с и достигнет точку А в момент времени t´, поэтому ее координата в системе К´ равна y´ = ct´. Следовательно, для точки А должны выполняться соотношения y = (y´ + V t´) ; у = сt (9.5.4) y´ = (y - Vt ) ; y´ = ct´

Решим их относительно. Подставим последние два выражения в первые два, получим сt = (y´ + V t´) = (ct´ + V t´) = (c + V) t´ ct´ = (y - Vt ) = (ct -Vt ) = (c - V)t Таким образом сt = (c + V) t´ = (c + V) (c - V)t/c = 2 (c 2 - V 2 )t/c значит Решим их относительно. Подставим последние два выражения в первые два, получим сt = (y´ + V t´) = (ct´ + V t´) = (c + V) t´ ct´ = (y - Vt ) = (ct -Vt ) = (c - V)t Таким образом сt = (c + V) t´ = (c + V) (c - V)t/c = 2 (c 2 - V 2 )t/c значит

Поэтому (9.5.5а) Выразим теперь время t через y´ и t´. Для этого подставим у во второе уравнение системы (9.5.4) (9.5.5b) Формулы (9.5.5) - преобразования Лоренца (1904). Поэтому (9.5.5а) Выразим теперь время t через y´ и t´. Для этого подставим у во второе уравнение системы (9.5.4) (9.5.5b) Формулы (9.5.5) - преобразования Лоренца (1904).

В преобразованиях Лоренца координаты и время одной системы зависят от координат и времени другой системы. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени. Обратные формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из (9.5.5) заменой штрихованных переменных на нештрихованные и заменой V –V, поскольку система К движется относительно К´ со скоростью –V : (9.5.6) В пределе с преобразования Лоренца переходят в нерелятивистские преобразования Галилея. В преобразованиях Лоренца координаты и время одной системы зависят от координат и времени другой системы. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени. Обратные формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из (9.5.5) заменой штрихованных переменных на нештрихованные и заменой V –V, поскольку система К движется относительно К´ со скоростью –V : (9.5.6) В пределе с преобразования Лоренца переходят в нерелятивистские преобразования Галилея.