Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница

ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения §1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a;b]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область (σ) xOy, ограниченная отрезком [a;b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и кривой y = f(x), называется криволинейной трапецией с основанием [a;b]. Замечание. Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки

ЗАДАЧА 1 (о площади криволинейной трапеции). Пусть f(x) 0, x [a;b]. Найти площадь S криволинейной трапеции (σ). Если Δx i = x i – x i–1 – длина отрезка [x i–1 ; x i ], то Пусть = max | [x i–1 ; x i ] |. Тогда

ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути). Пусть точка движется по кривой и ее скорость изменяется по закону v = f(t). Найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T 1 ; T 2 ]. РЕШЕНИЕ. 1) Разобьем [T 1 ; T 2 ] на n частей точками t 0 = T 1, t 1, t 2, …, t n = T 2 (где t 0 < t 1 < t 2 < … < t n ) 2) Выберем на [t i–1 ; t i ] (i = 1,2,…n) произвольную точку i. Если [t i–1 ; t i ] мал, то можно считать, что точка двигалась в те- чение этого времени равномерно со скоростью f( i ). пройденное расстояние: f( i ) Δt i, где Δt i = t i – t i–1. 3) Пусть = max | [t i–1 ; t i ] |. Тогда

2. Определенный интеграл: определение и условие его существования Пусть f(x) задана на отрезке [a;b]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1)Разобьем [a;b] на n частей точками x 0 = a, x 1, x 2, …, x n = b, где x 0 < x 1 < x 2 < … < x n. 2)На каждом отрезке [x i–1 ; x i ] (i = 1,2,…n) выберем про- извольную точку i и найдем произведение f( i ) Δx i, где Δx i = x i – x i–1 – длина отрезка [x i–1 ; x i ]. Сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b].

Пусть Число I называется пределом интегральных сумм I n (x i, i ) при 0, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого разбиения отрезка [a;b] у которого

Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие интегрируемости функции на [a;b]). Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она на этом отрезке ограничена. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости функции на [a;b]). Для интегрируемости функции f(x) на [a;b], достаточно выполнения одного из условий: 1)f(x) непрерывна на [a;b]; 2)f(x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва; 3)f(x) монотонна и ограничена на [a;b].

Замечание. Определяя определенный интеграл, полагали a < b. Полагаем, что: 1) если a > b, то 2) если a = b, то Такое расширение определения согласуется с определением определенного интеграла и его геометрическим (физическим) смыслом.

3. Свойства определенного интеграла 1) Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) – непрерывна на [a;b] и f(x) 0, x [a;b], то где S – площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b] и ограниченной сверху кривой y = f(x). 2) Физический смысл определенного интеграла Если функция v = f(t) задает скорость движущейся точки в момент времени t, то определяет путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T 1 ; T 2 ].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k 0) можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

6)Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a;c] и [c;b], то (1) Замечание. Формула (1) будет иметь место и в том случае, когда точка c лежит не внутри отрезка [a;b], а вне его. 7) Если f(x) > 0 (f(x) 0) x [a;b], то 8) Если f(x) (x) x [a;b], то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

9)Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то 10)Если f(x) – нечетная функция, то Если f(x) – четная функция, то

11)Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то в интервале (a;b) найдется такая точка c, что справедливо равенство ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§2. Вычисление определенных интегралов 1. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(t) непрерывна на [a;b]. Тогда f(t) непрерывна на [a;x], где a x b. f(t) интегрируема на [a;x], где a x b. Рассмотрим интеграл Имеем:, D(Φ(x)) = [a;b].

ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному верхнему пределу). Функция Φ(x) дифференцируема на [a;b], причем Φ (x) = f(x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 2. Любая непрерывная на [a;b] функция имеет на [a;b] первообразную.

Имеем: Φ(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b]. Пусть F(x) – еще одна первообразная для f(x) на [a;b]. Тогда F(x) и Φ(x) будут отличаться постоянным слагаемым (см. §23 теорема 2, I семестр), т.е. (1) где a x b, C – некоторое число. Полагаем x = a. Тогда из (1) получим 0 = F(a) + C, C = – F(a). Следовательно, (1) можно переписать в виде

Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона – Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято сокращенно записывать в виде Символ называют знаком двойной подстановки. Используя это обозначение, формулу (2) можно переписать в виде Замечание. В формуле (2) можно взять любую из перво- образных функции f(x), так как F(b) – F(a) не зависит от выбора первообразной.