«Применение определённого интеграла для вычисления объёмов тел.» Бахшалиев Тогрул, 2Л21

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. И чтобы хорошо понять данный материал, надо конечно же быть подготовленным : необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. В интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. И чтобы хорошо понять данный материал, надо конечно же быть подготовленным : необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. В интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое.

Представим некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Данную фигуру можно вращать двумя способами: – вокруг оси абсцисс ; – вокруг оси ординат. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс Начнем с наиболее популярной разновидности вращения. Представим некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Данную фигуру можно вращать двумя способами: – вокруг оси абсцисс ; – вокруг оси ординат. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX

Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями, y = 0 вокруг оси OX. Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями, при этом не забываем, что уравнение задаёт ось. Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями, y = 0 вокруг оси OX. Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями, при этом не забываем, что уравнение задаёт ось. Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси OX. В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси.

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле: В формуле перед интегралом обязательно присутствует число. Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат:, таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично. Объем тела вращения можно вычислить по формуле: В формуле перед интегралом обязательно присутствует число. Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат:, таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу: Ответ: В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы. То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д