Математический анализ Раздел: ФКП Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (основная теорема о вычетах, применение вычетов ) Лектор Пахомова Е.Г г.

3. Основная теорема о вычетах ТЕОРЕМА 9 (основная теорема о вычетах). Пусть а) функция f(z) аналитична в ограниченной односвяз- ной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z 1, z 2, … z n ; б)C – замкнутый контур в D, внутри которого со- держатся точки z 1, z 2, … z n. Тогда СЛЕДСТВИЕ 10. Пусть функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z 1, z 2, … z n. Тогда сумма всех вычетов функции f(z) относительно ее особых точек, включая вычет относительно, равна нулю, т.е.

4. Применение вычетов при вычислении интегралов а) Вычисление контурных интегралов ПРИМЕР 1. Найти ПРИМЕР 2. Найти

б) Вычисление интегралов типа Имеем:, Замена: z = e ix Получим: ПРИМЕР 3. Найти

в) Вычисление интегралов типа (где m n + 2, P m (x) 0, x ). ТЕОРЕМА 11. Пусть, где P n (x), P m (x) – многочлены степени n и m соответственно, причем m n + 2, P m (x) 0, x Тогда, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0) ПРИМЕР 4. Найти

г) Вычисление интегралов типа, ЛЕММА 12 (Жордана). Пусть имеется семейство дуг полуокружностей C R : | z | = R, Imz 0 (где R + ) Обозначим. Если f(z) аналитическая в верхней полуплоскости за исклю- чением конечного числа особых точек и, то, где, > 0.

ТЕОРЕМА 13. Пусть 1)f(z) аналитична на вещественной оси 2)f(z) аналитична в верхней полуплоскости за исклю- чением особых точекz 1, z 2,…, z m ; 3) f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда для любого > 0 интеграл – сходится и, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0).

СЛЕДСТВИЕ 14. Пусть f(z) удовлетворяет условиям теоремы 13. Тогда,, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0). ПРИМЕР 5. Найти