Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Интегралы, зависящие от параметра

§6. Интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра Пусть D n + 1, D = {(x, y 1, y 2, …, y n ) | a x b, c i y i d i }, z = f(x, y 1, y 2, …, y n ) – определена и непрерывна в D. Придадим переменным y 1, y 2, …, y n конкретные значения: y 1 = y 10, y 2 = y 20, …, y n = y n0 (где c i y i0 d i ) Рассмотрим функцию z = f(x, y 10, y 20, …, y n0 ) = (x) Имеем: (x) – непрерывна на [a;b], (x) – интегрируема на [a;b]. Пусть, [a;b]. Вычислим

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Заданная на множестве D 1 = {(y 1, y 2, …, y n ) | c i y i d i } n функция n переменных называется интегралом, зависящим от параметров. Переменные y 1, y 2, …, y n называются параметрами. Для простоты изложения будем далее рассматривать интегралы, зависящие от одного параметра. Получившиеся результаты естественным образом будут переноситься на случай интегралов от любого конечного числа параметров.

ТЕОРЕМА 1 (о непрерывности интеграла, зависящего от пара- метра). Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D = {(x, y) | a x b, c y d } и, [a;b]. Тогда функция непрерывна на [c;d]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМА 2 (о предельном переходе по параметру под знаком интеграла). Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D = {(x, y) | a x b, c y d } и, [a;b], y 0 [c;d]. Тогда

ТЕОРЕМА 3 (о дифференцировании интеграла по параметру). Пусть функции z = f(x,y) и непрерывны в прямо- угольнике D = {(x, y) | a x b, c y d } и, [a;b]. Тогда функция дифференцируема на [c;d], причем (1) Формула (1) называется правилом Лейбница. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 4 (о непрерывности интеграла, зависящего от параметра в случае переменных пределов интегрирования). Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D = {(x, y) | a x b, c y d }, (y) и (y) непрерывны на [c;d], причем a (y) b, a (y) b, y [c;d]. Тогда функция непрерывна на [c;d].

ТЕОРЕМА 5 (о дифференцировании интеграла по параметру в случае переменных пределов интегрирования). Пусть функции z = f(x,y) и непрерывны в прямо- угольникеD = {(x, y) | a x b, c y d }, (y) и (y) дифференцируемы на [c;d], причем a (y) b, a (y) b, y [c;d]. Тогда функция дифференцируема на [c;d], причем

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра Пусть z = f(x,y) непрерывна в области D = {(x, y) | a x +, c y d } и [a;+ ). Функция (2) называется несобственным интегралом, зависящим от параметра. F(y) определена на некотором подмножестве Y [c;d], состоящем из значений y, при которых интеграл (2) – сходится. D[F(y)] называют областью сходимости интеграла (2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственный интеграл (2) называют правильно сходящемся на множестве Y [c;d], если сущест- вует такая функция (x), что 1) | f(x,y) | (x), y Y, x [ ;+ ) ; – сходится. Говорят: «интеграл (2) мажорируется сходящимся несобственным интегралом». ТЕОРЕМА 6 (о непрерывности несобственного интеграла, зави- сящего от параметра). Пусть z = f(x,y) непрерывна в области D = {(x, y) | a x +, c y d } и [a;+ ). Если интеграл (2) сходится правильно на множестве Y [c;d], то он является на Y непрерывной функцией.

ТЕОРЕМА 7 (о дифференцировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функции z = f(x,y) и непрерывны в области D = {(x, y) | a x +, c y d } и [a;+ ). Если несобственный интеграл сходится пра- вильно на множестве Y [c;d], то функция дифференцируема на Y и справедлива формула

3. Эйлеровы интегралы Эйлеровы интегралы – два интеграла зависящих от параметра, специального вида. 1) Эйлеровым интегралом II рода ( -функцией) называется интеграл вида СВОЙСТВА -функции: а) (x) определена при x > 0. б) (x + 1) = x (x) – формула понижения (или функци- ональное уравнение). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

в) если 0 < x < 1, то справедлива формула дополнения: Из формулы дополнения, при получаем: г) если n, то справедливы равенства: (n) = (n – 1)! и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

2)Эйлеровым интегралом I рода ( -функцией) называется интеграл вида СВОЙСТВА -функции: а) (x,y) определена в полуплоскости x > 0, y > 0. б) (x,y) = (y,x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно в) Справедливо равенство: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

г) связь -функции и -функции: Из этой формулы, в частности, следует, что при 0 < x < 1