Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакоположительных рядов

§15. С С С Сходимость знакоположительных рядов ЛЕММА 1 (необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда). Знакоположительный ряд сходится последовательность его частичных сумм ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМА 2 (первый признак сравнения). Пусть u n и v n – знакоположительные ряды, причем u n v n, n N (N ). Тогда 1)если ряд v n сходится, то и ряд u n тоже сходится; 2)если ряд u n расходится, то и ряд v n тоже расходится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения). Пусть u n и v n – знакоположительные ряды. Если при n существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов, т.е. то ряды u n и v n ведут себя одинаково по отношению к сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках сравнения: а)гармонический ряд – расходится; б)обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) в) ряд геометрической прогрессии

ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера). Пусть u n – знакоположительный ряд и существует Тогда а) если < 1, то ряд сходится; б) если > 1, то ряд расходится; в) если = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 5 (признак Коши). Пусть u n – знакоположительный ряд и существует Тогда а)если < 1, то ряд сходится; б)если > 1, то ряд расходится; в)если = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечания. 1) В обеих теоремах 4 и 5 случай = включается в > 1. 2) В ходе доказательства теорем 4 и 5 показывается, что если > 1, то

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши). Пусть u n – знакоположительный ряд, f(x) – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая на [c;+ ) (где c, c 1) функция такая, что f(n) = u n (для любого n = 1,2,3 …). Тогда несобственный интеграл и ряд ведут себя одинаково относительно сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО