5. Связь между поверхностными интегралами I и II рода Пусть (S) – двусторонняя гладкая поверхность, заданная уравнением z = f(x,y) (σ xy ) – проекция (S) на плоскость xOy, квадрируемая область, f(x,y) – непрерывна в (σ xy ) R(x,y,z) – непрерывна на (S). Выберем верхнюю сторону поверхности (т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz острый). Тогда существует интеграл

Получили: Формула остается справедливой и при выборе нижней стороны поверхности. Аналогично доказывается справедливость формул Таким образом, в общем случае получаем: – связь поверхностных интегралов I и II рода.

то справедливо равенство ЛЕММА 2. Пусть гладкая двусторонняя поверхность (S) имеет уравнение z = f(x,y), (σ xy ) – квадрируемая область, проекция (S) на плоскость xOy. Если существует интеграл

7. Формула Стокса Пусть (S) – двусторонняя незамкнутая поверхность, которая может быть задана явно, например, уравнением z = f(x,y); (σ xy ) – проекция (S) на плоскость xOy, (L) – граница (S), кусочно-гладкая замкнутая кривая; () – проекция (L) на плоскость xOy ( кусочно-гладкая замкнутая). Выберем верхнюю сторону поверхности (т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz острый). Выберем направление обхода (L) так, чтобы при движении по (L) в выбранном направлении область (S) оставалась справа (положительное направление обхода).

Пусть f(x,y) – непрерывна в области (σ xy ); P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывны на (S) вместе со своими частными производными. Тогда существует интеграл и для него справедливо равенство: – формула Стокса