5. Криволинейные интегралы II рода, не зависящие от пути интегрирования ЛЕММА 4. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от линии интегрирования, - презентация

1 5. Криволинейные интегралы II рода, не зависящие от пути интегрирования ЛЕММА 4. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от линии интегрирования, необходимо и доста- точно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру () был равен нулю.

2 ТЕОРЕМА 5. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непре- рывны вместе со своими частными производными в некото- рой односвязной области D Oxyz. Следующие условия эквивалентны: 3)выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифферен- циалом некоторой функции u(x,y,z), т.е. du = Pdx + Qdy + Rdz.

3 6. Интегрирование полных дифференциалов Пусть Pdx + Qdy + Rdz = du ; ( ) = (L 1 L 2 ) – простая гладкая кривая (любая) ( ): x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), где α t β (L 1 α, L 2 β) Рассмотрим Получили: Таким образом, для криволинейного интеграла II рода спра- ведлив аналог формулы Ньютона – Лейбница.

4 Нахождение функции по ее дифференциалу Пусть P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) ; Тогда L(x,y) и L 0 (x 0,y 0 ) Рассмотрим интеграл, полагая (L 0 L) = ( 1 ) или (L 0 L) = ( 2 ) :

5 Получили: Или 7. Связь криволинейных интегралов I и II рода Если ( ) – простая гладкая кривая, то справедлива формула где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора, каса- тельного к кривой ( ).

6 8. Геометрическое приложение криволинейного интеграла II рода Пусть (σ) – квадрируемая область в плоскости xOy, ( ) – граница (σ), кусочно-гладкая. Тогда площадь области (σ) может быть найдена по формуле: