Численные методы. Округление чисел Погрешность функции Приближение функций многочленами Многочлен Лагранжа Многочлены Ньютона Численное дифференцирование Вторая разностная производная Формула прямоугольников Решение алгебраических уравнений Метод хорд Метод касательных Решение дифференциальных уравнений

Правило округления. Если в старшем из отбрасы- ваемых разрядов стоит цифра меньше 5, то содер- жимое сохраняемых разрядов числа не изменится. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица Пример

Правило 1. При сложении и вычитании приближён- ных чисел результат округляется по минимальному числу верных цифр после запятой у исходных чисел. Пример – = = 77.6 Правило 2. При умножении и делении приближён- ных чисел производится округление результата с чис- лом значащих цифр, совпадающим с минимальным числом верных значащих цифр у исходных чисел. Пример = = 61.5

Пусть – дифференцируемая в рас- сматриваемой области функция. (1) (2) Обратная задача: принцип равных влияний.

Многочлен:

Пусть известны значения некоторой функции y=f(x) в (n+1) различных точках x 0, x 1, …, x n, которые обозначим: y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n ). x0x0 x1x1 x2x2 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 ynyn y = f(x) y = F(x) Требуется построить принадлежащую известному классу (имеющую простой вид) функцию F(x), принимающую в точках x 0, x 1, …, x n те же значения, что и f (x), то есть F(x 0 )=y 0, F(x 1 )=y 1, …, F(x n )=y n. (*)

Многочлен Лагранжа Пусть f(x) – интерполируемая функция, x 0, x 1, …, x n – узлы интерполяци, y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n )., где Оценка погрешности в точке, т.е., где,

Многочлены Ньютона Число h называют шагом интерполяции. Тогда y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n ) x0x0 x1x1 x2x2 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 ynyn y = f(x) y = F(x) hh

Конечные разностифункции f(x) в точке x i : первого порядка второго порядка третьего порядка порядка n

Новая переменная: – первый интерполяционный многочлен Ньютона (1) …

Новая переменная: – второй интерполяционный многочлен Ньютона … (2)

Оценка погрешности интерполяции в точке x: 1. (1) на левой части отрезка [x 0, x n ] и для x < x 0 (2) на правой части отрезка [x 0, x n ] и для x > x n 2.2.x i < x < x i+1 начальная точка в (1): x i конечная точка в (2): x i+1

Пусть,, Положим, тогда – первая разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

1) 2) Вычтем из первой полученной формулы вторую – центральная разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

1) 2) Сложим полученные формулы: вторая разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

Формула прямоугольников Обозначим через Разделим отрезок [a, b] на n равных отрезков: [x i-1, x i ] При этом длина каждого отрезка будет. x 0 = ax2x2 x1x1 x3x3 xnxn,, …, Обозначим через,, …, Тогда

y = f(x) x i-1 xixi Вычислим приближённо каждый интеграл I i. I i = S (площади под функцией y = f(x) ) I i S прямоугольника = Тогда – формула прямоугольников Погрешность данной формулы:

Формула трапеций Обозначим через Разделим отрезок [a, b] на n равных отрезков: [x i-1, x i ] При этом длина каждого отрезка будет. x 0 = ax2x2 x1x1 x3x3 xnxn,, …, Обозначим через,, …, Тогда

y = f(x) x i-1 xixi y i-1 yiyi Вычислим приближённо каждый интеграл I i. I i = S (площади под функцией y = f(x) ) I i S трапеции = Тогда – формула трапеций Погрешность формулы:

Формула Симпсона Разделим отрезок [a, b] на чётное число равных отрезков, то есть на 2n отрезков:,,,,, Представим данный интеграл в виде суммы n интегралов: Вычислим приближённо каждый интеграл I i.

y = f(x) x 2i-2 x2ix2i y 2i-2 y2iy2i x 2i-1 y 2i-1 I i = S (площади под функцией y = f(x) ) Проведём параболу, про- ходящую через три точки I i S под параболой = – формула Симпсона Погрешность формулы:

Большая часть алгебраических уравнений не имеет аналитического решения. Рассмотрим уравнение вида f(x) = 0(5) Этап 1. Отделение корней a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 b3b3 a3a3 a4a4 b4b4 (a 1, b 1 )(a 2, b 2 ) (a 3, b 3 )(a 4, b 4 ) Этап 2. Уточнение корней x – точное решение,– заданная точность находим x 0 если, то x n – приближённое решение

Метод хорд (секущих)

1. x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(a)f(a) f(x0)f(x0) f(x1)f(x1) x2x2 x3x3 Случай 1: x 0 = bСлучай 2: x 0 = a 2. x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(b)f(b) f(x0)f(x0) x2x2 x3x3

x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(a)f(a) f(x0)f(x0) f(x1)f(x1) x2x2 x3x3

Погрешность данных формул:, где

Замечания.

Уравнение. Метод касательных (Ньютона) f(x) = 0 a b x*x* = x 0 x2x2 x3x3 x1x1

Погрешность формулы:, где Замечания.

(6) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

Метод Эйлера,,…,,,

x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(b)f(b) f(x0)f(x0) x2x2 x3x3