Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Лекция 2: - презентация

1 Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Лекция 2:

2 П.1. Простейшие формулы численного дифференцирования. Допустим, что в некоторой т. х Если вычислить точно затруднительно, или невозможно, то можно воспользоваться приближенным равенством: Какова погрешность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно потребовать от функции наличие производных более высокого порядка, чем 1-й в окрестности. т..

3 Остановимся на 3-х основных формулах численного дифференцирования. Пусть -шаг Если, справедлива формула: (2.1) Если (2.2) Если (2.3)

4 Формулы (2.1), (2.2) и (2,3) называются формулами численного дифференцирования с остаточным членом, а формулы (2.4) (2.5) (2.6) формулами численного дифференцирования. (2.4) – первая разностная производная вперёд. (2.5) – центральная разностная производная. (2.6) – вторая разностная производная.

5 Формулы (2.4), (2.6) имеют следующую погрешность: Говорят, что формула (2.4) имеет первый порядок погрешности относительно h, а формулы (2.5), (2.6) имеют второй порядок погрешности относительно h. Или по другому, формула (2.4) имеет первый порядок точности по h, (2.5), (2.6) имеют второй порядок точности по h.

6 п.2 Квадратурные формулы. Квадратурная формула прямоугольника. Пусть требуется вычислить от непрерывной функции Приближенное равенство (2.7) где - некоторые числа, -некоторые точки отрезка, называется квадратурной формулой, определяемой весами и узлами. Пусть Для вычисления интеграла можно использовать квадратурную формулу прямоугольника: (2.8)

7 Квадратурная формула формулой прямоугольников с остаточным членом имеет вид (2.9)

8 Квадратурная формула трапеции. Пусть, тогда квадратурной формулой трапеции будем называть правую часть равенства: (2.10) где, Квадратурная формула трапеции с остаточным членом имеет вид: (2.11)

9 Квадратурная формула Симпсона. Пусть Для вычисления используем параболу, проходящую через точки. Квадратурную формулу Симпсона имеет вид (2.12) Квадратурная формула Симпсона с остаточным членом: (3.13) Квадратурные формулы (2.6), (2.8), (2.10) называются каноническими квадратурными формулами.

10 П.3. Усложненные квадратурные формулы. На практике, когда требуется вычислить, отрезок разбивают на N частей. На каждом из частичных отрезков применяют одну из канонических квадратурных формул, затем полученные результаты суммируют. Построенная таким образом квадратурная формула на называется усложненной квадратурной формулой. При использовании квадратурных формул прямоугольников и трапеций за длину частичного отрезка удобно выбирать h, а квадратурной формулы Симпсона удобно выбирать 2h. Остановимся подробнее на применении усложненной формулы прямоугольника. Разобьем на N равных частей.

11 Каждый из этих частичных отрезков будем обозначать, где На каждом из частичных отрезков применим квадратурную формулу прямоугольника: (2.14) Суммируя формулы (4.1) при, устанавливаем усложненную квадратурную формулу прямоугольников: (2.15) Усложненная квадратурная формула прямоугольников с остаточным членом имеет вид :

12 Если ф., то разбив на N частей запишем усложненную квадратурную формулу трапеций: (4.6) Усложненная квадратурная формула трапеций с остаточным членом: (4.7) где

13 Обозначим На каждом из отрезков запишем каноническую квадратурную формулу Симпсона: Усложненная квадратурная формула Симпсона: (4.8) Усложненная квадратурная формула Симпсона с остаточным членом: