Численные методы. - презентация

1 Численные методы. Округление чисел Погрешность функции Приближение функций многочленами Многочлен Лагранжа Многочлены Ньютона Численное дифференцирование Вторая разностная производная Формула прямоугольников Решение алгебраических уравнений Метод хорд Метод касательных Решение дифференциальных уравнений

2 Правило округления. Если в старшем из отбрасы- ваемых разрядов стоит цифра меньше 5, то содер- жимое сохраняемых разрядов числа не изменится. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица Пример

3 Правило 1. При сложении и вычитании приближён- ных чисел результат округляется по минимальному числу верных цифр после запятой у исходных чисел. Пример – = = 77.6 Правило 2. При умножении и делении приближён- ных чисел производится округление результата с чис- лом значащих цифр, совпадающим с минимальным числом верных значащих цифр у исходных чисел. Пример = = 61.5

4 Пусть – дифференцируемая в рас- сматриваемой области функция. (1) (2) Обратная задача: принцип равных влияний.

5 Многочлен:

6 Пусть известны значения некоторой функции y=f(x) в (n+1) различных точках x 0, x 1, …, x n, которые обозначим: y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n ). x0x0 x1x1 x2x2 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 ynyn y = f(x) y = F(x) Требуется построить принадлежащую известному классу (имеющую простой вид) функцию F(x), принимающую в точках x 0, x 1, …, x n те же значения, что и f (x), то есть F(x 0 )=y 0, F(x 1 )=y 1, …, F(x n )=y n. (*)

7 Многочлен Лагранжа Пусть f(x) – интерполируемая функция, x 0, x 1, …, x n – узлы интерполяци, y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n )., где Оценка погрешности в точке, т.е., где,

8 Многочлены Ньютона Число h называют шагом интерполяции. Тогда y 0 =f (x 0 ), y 1 =f (x 1 ), …, y n =f (x n ) x0x0 x1x1 x2x2 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 ynyn y = f(x) y = F(x) hh

9 Конечные разностифункции f(x) в точке x i : первого порядка второго порядка третьего порядка порядка n

10 Новая переменная: – первый интерполяционный многочлен Ньютона (1) …

11 Новая переменная: – второй интерполяционный многочлен Ньютона … (2)

12 Оценка погрешности интерполяции в точке x: 1. (1) на левой части отрезка [x 0, x n ] и для x < x 0 (2) на правой части отрезка [x 0, x n ] и для x > x n 2.2.x i < x < x i+1 начальная точка в (1): x i конечная точка в (2): x i+1

13 Пусть,, Положим, тогда – первая разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

14 1) 2) Вычтем из первой полученной формулы вторую – центральная разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

15 1) 2) Сложим полученные формулы: вторая разностная производная Оценка погрешности в точке x 0 :

16 Формула прямоугольников Обозначим через Разделим отрезок [a, b] на n равных отрезков: [x i-1, x i ] При этом длина каждого отрезка будет. x 0 = ax2x2 x1x1 x3x3 xnxn,, …, Обозначим через,, …, Тогда

17 y = f(x) x i-1 xixi Вычислим приближённо каждый интеграл I i. I i = S (площади под функцией y = f(x) ) I i S прямоугольника = Тогда – формула прямоугольников Погрешность данной формулы:

18 Формула трапеций Обозначим через Разделим отрезок [a, b] на n равных отрезков: [x i-1, x i ] При этом длина каждого отрезка будет. x 0 = ax2x2 x1x1 x3x3 xnxn,, …, Обозначим через,, …, Тогда

19 y = f(x) x i-1 xixi y i-1 yiyi Вычислим приближённо каждый интеграл I i. I i = S (площади под функцией y = f(x) ) I i S трапеции = Тогда – формула трапеций Погрешность формулы:

20 Формула Симпсона Разделим отрезок [a, b] на чётное число равных отрезков, то есть на 2n отрезков:,,,,, Представим данный интеграл в виде суммы n интегралов: Вычислим приближённо каждый интеграл I i.

21 y = f(x) x 2i-2 x2ix2i y 2i-2 y2iy2i x 2i-1 y 2i-1 I i = S (площади под функцией y = f(x) ) Проведём параболу, про- ходящую через три точки I i S под параболой = – формула Симпсона Погрешность формулы:

22 Большая часть алгебраических уравнений не имеет аналитического решения. Рассмотрим уравнение вида f(x) = 0(5) Этап 1. Отделение корней a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 b3b3 a3a3 a4a4 b4b4 (a 1, b 1 )(a 2, b 2 ) (a 3, b 3 )(a 4, b 4 ) Этап 2. Уточнение корней x – точное решение,– заданная точность находим x 0 если, то x n – приближённое решение

23 Метод хорд (секущих)

24 1. x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(a)f(a) f(x0)f(x0) f(x1)f(x1) x2x2 x3x3 Случай 1: x 0 = bСлучай 2: x 0 = a 2. x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(b)f(b) f(x0)f(x0) x2x2 x3x3

25 x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(a)f(a) f(x0)f(x0) f(x1)f(x1) x2x2 x3x3

26 Погрешность данных формул:, где

27 Замечания.

28 Уравнение. Метод касательных (Ньютона) f(x) = 0 a b x*x* = x 0 x2x2 x3x3 x1x1

29 Погрешность формулы:, где Замечания.

30 (6) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

31 Метод Эйлера,,…,,,

32

33 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

34 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x n-1 xnxn y0y0 y1y1 y2y2 y3y3 y n-1 ynyn

35 x*x* a b x1x1 = x0= x0 f(b)f(b) f(x0)f(x0) x2x2 x3x3