Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Скалярное поле и его характеристики

§19. Скалярное поле ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в простран- стве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что на G задано скалярное поле, если в каждой точке M G определена функция 3-х переменных u = f(M) [функция 2-х переменных z = f(M)]. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент.

1. Производная по направлению Пусть z = f(x,y) определена в области D xOy, M 0 (x 0,y 0 ) D, s ̄ – некоторый вектор. Пусть M(x 0 + x,y 0 + y) D, такая, что s ̄̄. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен то его называют производной функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) по направлению вектора s ̄. Обозначают:

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость изменения функции z = f(x,y) на отрезке M 0 M. – скорость изменения функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) в направлении вектора s ̄. Так же как и для функции одной переменной доказывается, что 1) если, то функция в точке M 0 (x 0,y 0 ) в направле- нии вектора s ̄ возрастает; 2) если, то функция в точке M 0 (x 0,y 0 ) в направле- нии вектора s ̄ убывает; 3) если, то в направлении вектора s ̄ функция не изменяется. направление вектора s ̄ – направление линии уровня функ- ции, проходящей через точку M 0 (вектор s ̄ является касательным к линии уровня в точке M 0 ).

Замечание. Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно: – производная функции по направлению век- тора i (направлению оси Ox); – производная функции по направлению век- тора j (направлению оси Oy).

Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ). Тогда где – бесконечно малая при Обозначим | M 0 M | =. Тогда x = cos, y = cos где cos, cos – направляющие ко синусы вектора s ̄. Следовательно, Разделив на | M 0 M | = и перейдя к пределу при 0, полу- чим

где cos, cos – направляющие косинусы вектора s ̄. Замечание. Аналогично определяется и обозначается производ- ная по направлению для функции 3-х переменных u = f(x,y,z). Для нее получим где cos, cos, cos – направляющие косинусы вектора s ̄.

2. Градиент ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) называется вектор с координатами Обозначают: gradz(M 0 ). СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА 1) gradz(M 0 ) определяет направление, в котором функция в точке M 0 возрастает с наибольшей скоростью. При этом | gradz(M 0 ) | равен наибольшей скорости изменения функции в точке M 0. 2) gradz(M 0 ) перпендикулярен к линии уровня функции z = f(x,y), проходящей через точку M 0. Замечание. Для функции 3-х переменных градиент определя- ется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.

§20. Полезные теоретические сведения 1. Формула Тейлора для функции одной переменной Пусть y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x 0. Тогда f(x 0 ) = f (x 0 ) x + 1 x, где 1 (x 0, x) – бесконечно малая при x 0. f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x + 1 x.(1) Обозначим x 0 + x = x, x = x – x 0 и формула (1) примет вид: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x – x 0 ) + 1 (x – x 0 ),(2) где 1 (x 0,x) – бесконечно малая при x x 0.

Если y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то применим n раз формулу (2) к функции i и получим (3): где n (x 0,x) – бесконечно малая при x x 0. Формулу (3) называют формулой Тейлора разложения функ- ции f(x) по степеням (x – x 0 ) (в окрестности точки x 0 ). Слагаемое называют многочленом Тейлора функции f(x) по степеням (x – x 0 ). Слагаемое R n = n (x – x 0 ) n называют остаточным членом формулы Тейлора.

Остаточный член R n можно записать в нескольких формах: 1) R n = n (x – x 0 ) n = o((x – x 0 ) n ) – форма Пеано; 2) если y = f(x) n + 1 раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то R n можно записать в форме Лагранжа : где c – точка между x 0 и x. Если в формуле Тейлора x 0 = 0, то она примет вид (4): Формулу (4) называют формулой Маклорена. Применение формулы Маклорена (Тейлора): 1)в приближенных вычислениях (значений функций, опреде- ленных интегралов и т.п.); 2) при нахождении пределов.

2. Формула Тейлора для функции n переменных Пусть y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x 0. Тогдаd n f(x 0 ) = f (n) (x 0 ) ( x) n. Если c – точка между x 0 и x, то (0; 1) такое, что c = x 0 + x. Следовательно, формулу (3) можно записать в виде

Пусть z = f(x,y) n + 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности U точки M 0 (x 0,y 0 ). Тогда, как и в случае функции y = f(x) справедлива формула где M(x 0 + x,y 0 + y) U и R n = o( n ) при Формулу (5) называют формулой Тейлора для функции z = f(x,y) в окрестности точки M 0 (x 0,y 0 ) (по степеням (x – x 0 ), (y – y 0 ) ).

Слагаемое называют многочленом Тейлора функции f(x,y) в окрест- ности точки M 0 (x 0,y 0 ). Слагаемое R n называют остаточным членом формулы Тейлора функции f(x,y) в окрестности точки M 0 (x 0,y 0 ). Аналогичный вид имеет формула Тейлора для функций большего числа переменных

3. Понятие квадратичной формы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен n переменных x 1, x 2, …, x n в котором все члены имеют одинаковую степень, называется однородным или формой. ПРИМЕРЫ. 1) f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + 4x 2 – 5x 3 – однородный 1-й степени (линейная форма); 2) f(x 1, x 2 ) = 2x x 1 x 2 + 3x 2 2 – однородный 2-й степени (квадратичная форма); 3) f(x 1, x 2 ) = x 1 3 – x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 – 4x 2 3 – однородный 3-й степени.

Общий вид квадратичной формы: f(x 1, x 2, …, x n ) = a 11 x a 22 x … + a nn x n a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + … +2a 1n x 1 x n + + 2a 23 x 2 x 3 + 2a 24 x 2 x 4 + … +2a 2n x 2 x n + + … + 2a n–1,n x n–1 x n. Будем считать, что a ij = a ji. Тогда квадратичную форму можно записать в виде

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма f(x 1, x 2, …, x n ) называ- ется положительно (отрицательно) определенной если f(x 1, x 2, …, x n ) > 0 [f(x 1, x 2, …, x n ) < 0] для любых, не равных одновременно нулю, значений переменных x 1, x 2, …, x n. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Если квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной. Симметрическая матрица из коэффициентов квадратичной формы, т.е. матрица вида называется матрицей квадратичной формы.

Главными угловыми минорами квадратной матрицы C = (c ij ) называются ее миноры вида ТЕОРЕМА 1 (критерий Сильвестра). 1)Квадратичная форма положительно определена все главные угловые миноры ее матрицы – положительные. 2)Квадратичная форма отрицательно определена знаки главных угловых миноров ее матрицы чередуются, начиная с минуса, т.е.

4. Применение к исследованию функций n переменных на экстремум Пусть z = f(x,y), D(z) = D xOy, M 0 (x 0,y 0 ) D. Пусть z = f(x,y) трижды дифференцируема в окрестности U точки M 0 и M 0 – критическая точка для z = f(x,y). Тогда 1) M U где R 2 = o( 2 ) при 2) df(M 0 ) = 0 и

Так как d 2 f(M 0 ) – квадратичная форма с матрицей получаем следующие достаточные условия экстремума функции 2-х переменных: 1) функция z = f(x,y) имеет в точке M 0 (x 0,y 0 ) максимум, если квадратичная форма d 2 f(M 0 ) отрицательно определена, т.е. 2) функция z = f(x,y) имеет в точке M 0 (x 0,y 0 ) минимум, если квадратичная форма d 2 f(M 0 ) положительно определена, т.е.