ТЯГОТЕНИЕ Сегодня: пятница, 6 декабря 2013 г.
Лекция 4 Тема: ТЯГОТЕНИЕ Введение Содержание лекции: Сегодня: пятница, 6 декабря 2013 г. 1. Теория тяготения Ньютона 2. Опыт Кавендиша 3. Закон Кеплера для движения планет 4. Вес 5. Искусственные спутники Земли 6. Вторая космическая скорость
Введение Между любыми видами материи существует универсальное взаимодействие, проявляющееся в притяжении тел. Если тела движутся со скоростью, много меньшей скорости света, в этом случае справедлив закон всемирного тяготения Ньютона.
4.2. Теория тяготения Ньютона Первые высказывания о тяготении как о всеобщем свойстве материи относится к античности. В XVI XVII вв. в Европе возродились попытки доказать существование взаимного тяготения тел. Немецкий астроном Кеплер говорил, что «тяжесть есть взаимное стремление всех тел». Классическая формулировка закона всемирного тяготения была дана И. Ньютоном в 1687 году в его труде «Математические начала натуральной философии».
В 1665 г. Ньютон обратил внимание на падающее вниз яблоко (рис. 4.1). Он спросил себя, что заставило упасть это яблоко. Если между Землей и яблоком существует притяжение, то такая же сила должна существовать и между любыми двумя телами с массами m l и m 2. Если сила пропорциональна массе яблока, то она должна быть также пропорциональна по отдельности каждой из двух масс m 1 и m 2 ; иными словами, F ~ m 1 m 2.
Рис Ньютон и яблоко (шарж Н. Мистри)
Ньютон заинтересовался, будет ли убывать сила, действующая на яблоко, по мере удаления от поверхности Земли? (рис. 4.2). Он предположил, что если удалить яблоко на расстояние, равное расстоянию до Луны, то оно будет иметь то же ускорение, что и Луна. Силы тяготения между Землей и Луной и между Землей и яблоком должны иметь одну и ту же природу.
Рис Яблоко Земля Луна R3R3 g g r g
Чтобы найти ускорение Луны и отношение этого ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли, используем формулу для центростремительного ускорения a = v 2 /r. Поскольку v = r = 2 r/T, находим, что ускорение Луны a = 4 2 r/T 2, где r – расстояние от Земли до Луны, равное 3, км.
Период обращения Луны вокруг Земли Т = 27,3 сут или 2, с. Подставляя эти значения в выражение для а, имеем a = 2,73 10 –3 м/с 2. Вблизи поверхности Земли ускорение равно g = 9,8 м/с 2. Таким образом, отношение a/g = 1/3590 (1/60) 2, что в пределах ошибок измерений совпадает с R З 2 /r 2.
Ньютон выполнил эти вычисления и обнаружил: сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко, удаленное к Луне, уменьшится в 3600 = (60) 2 раз. Это соответствует отношению квадратов расстояний радиуса орбиты Луны r к радиусу Земли R З. Отсюда Ньютон заключил: сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.
Закон Ньютона: F 12 = Gm 1 m 2 /r 2. Коэффициент G называется гравитационной постоянной и он определён впервые Г. Кавендишем в 1798 г., G = 6,6745·10 11 м 3 /кг · с 2.
Этот закон объясняет падение тел на Землю, описывает орбиты планет и комет, движущихся вокруг Солнца, движение гигантских звездных галактик относительно друг друга. Он позволил вычислить массы Земли, Солнца и большинства планет, а также периоды их обращения. В качестве примера найдем период обращения лунного модуля вокруг Луны непосредственно перед посадкой.
Подставим в уравнение F = mа вместо F выражение GM Л m/R 2 (M Л – масса Луны; R – радиус орбиты и m – масса лунного модуля). Для ускорения а используем выражение(4 2 R/Т 2 ). Таким образом GM Л m/R 2 = m(4 2 R /T 2 ), T 2 = (4 2 / GM Л )R 3, R 1740 км M Л = 7, кг, G = 6,67 10 –11 Н м 2 кг –2, получаем Т = 6, с, или 108 мин.
Определим параметры орбиты стационарного спутника. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Чтобы спутник «завис» над данной точкой экватора, он должен иметь тот же самый период обращения, что и Земля, т.е. 24 ч.
По закону обратных квадратов ускорение свободного падения g( ) должно совпадать с центростремительным ускорением спутника, т.е. здесь r – расстояние до спутника. R З = 6, м и Т = 24 ч = с, имеем r = км.
4.3. Опыт Кавендиша Впервые величину G в земных условиях измерил Кавендиш (рис. 4.3). Рис Стержень с небольшими шариками, имеющими массу m, подвешенный на кварцевой нити (а); два больших шара каждый массой М помещены вблизи небольших шариков, и кварцевая нить закручивается на угол (б)
Кавендиш использовал факт, что для закручивания на несколько градусов длинной тонкой кварцевой нити требуется очень небольшая сила. Он откалибровал кварцевую нить, затем подвесил к ней два небольших свинцовых шарика, укрепленных на концах легкого стержня Поместил вблизи небольших шариков два более крупных свинцовых шара, он измерил угловое отклонение стержня на угол и определил значение гравитационной постоянной G.
Кавендиш подставил значение G в закон всемирного тяготения и нашел массу Земли M З = gRз 2 /G. Кавендиш не только «взвесил» Землю, он определил массу Солнца, Юпитера и всех других планет.
4.4. Закон Кеплера для движения планет Иоганн Кеплер обнаружил, что движения планет могут быть описаны тремя простыми законами. Законы Кеплера укрепили гипотезу Коперника о том, что планеты обращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли. В 1600 г. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. В 1600 г. Джордано Бруно открыто выступил в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, он был осужден инквизицией и сожжен на костре.
Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллиптической орбите, причем Солнце располагается в одном из фокусов эллипса. Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает равные площади за равные времена. Третий закон Кеплера. Кубы больших полуосей любых двух планетарных орбит относятся друг к другу как квадраты периодов обращения этих планет. Для круговых орбит Большая полуось эллипса – это половина максимального расстояния между двумя точками эллипса.
4.5. Вес Вес тела не совпадает с его массой; его обычно определяют как результирующую силы тяжести, действующую на тело. Вблизи поверхности Земли вес тела массой m равен mg. Определим вес человека на луне.
Используем значения М Л /М З = 0,0123, R Л /R З = 0,273 Вес космонавта на Луне дается выражением F Л = G(M Л m/ ) Запишем отношение этих величин Вес человека на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. на Земле F З = G(M З m/ )
4.6. Искусственные спутники Земли Люди, не изучавшие физику, часто задают вопрос: «Что удерживает спутники Земли от падения?» Не должен ли спутник после прекращения работы ракетных двигателей падать к центру Земли с ускорением свободного падения g, как и все другие тела вблизи поверхности Земли? Ответ является утвердительным: да, спутники, летающие по околоземной орбите, испытывают ускорение 9,8 м/с 2, направленное к центру Земли. В противном случае они бы улетели по касательной к поверхности Земли.
Любое тело движется по окружности с ускорением v 2 /R. Если окружностью является околоземная орбита, то ускорение обеспечивается силой тяжести и, следовательно, g =, Скорость v 1 называется орбитальной или первой космической скоростью, а R З = 6370 км – радиус Земли. Находим v 1 :
Это минимальное значение скорости, необходимое для вывода тела на околоземную орбиту. Если спутник движется по круговой орбите на значительном расстоянии h от поверхности Земли, то необходимо учитывать, что ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли Период Т (или время одного оборота вокруг Земли) равен окружности Земли, деленной на v 1 :
На расстоянии R З + h от центра Земли ускорение свободного падения дается выражением Приравнивая друг другу g и, получаем Откуда Мы видим, что в этом случае скороcть меньше первой космической.
4.7. Вторая космическая скорость Пусть снарядом с массой m произведен выстрел вертикально вверх со скоростью v 1. На какую высоту поднимется снаряд и сможет ли он покинуть Землю и уйти к r = ? Пусть на максимальной высоте расстояние снаряда до центра Земли равно r 2 ; при этом его скорость v 2 и кинетическая энергия обратится в нуль, т.е. K 2 = 0.
Но в любой момент времени сумма K + U должна оставаться постоянной. Таким образом, можно записать Здесь U – потенциальная энергия снаряда в поле силы тяжести Земли.
Используя выражение для U, получим (1/2)m v 1 2 = mgR З 2 [(1/R З ) – (1/r 2 )]. Отсюда находим максимальное расстояние, на которое улетит снаряд от центра Земли ( 2 = 0): (R З – радиус Земли).
Из последней формулы следует: если скорость 1 достаточно велика, то r 2 может стать бесконечным. Минимальная скорость, при которой тело массой m достигает бесконечности, называется второй космической скоростью 0.
Полагая r 2 =, находим v 0 2 /2 = gR З 2 (1/R З 0), (вторая космическая скорость). Поскольку v с = 8 км/с, то вторая космическая скорость v 0 = 11,2 км/с.
Лекция окончена Нажмите клавишу для выхода