ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

Определенный интеграл. Определенным интегралом функции y=f(x) на [a,b] называется, если этот предел существует и не зависит от способа разбиений [a,b] на и от выбора точек. Определенный интеграл обозначается: Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определённого интеграла. y x 0 =a x n =b x1x1 x2x2 x i-1 xixi. 0 y=f (x)

Свойства определённого интеграла , k-любое число 4. 5.Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо:

Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [, ] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

Пример.

Замена переменной в определённом интеграле. x01 t0

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Пример.

Геометрические приложения определенного интеграла.

y x y=-f(x) y=f(x) 0 b

y x 0 y=( ) a b

1 1 y x 0 y= y=-x 2

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

y x 0 a b x(t), y(t), x(t), y(t) – непрерывны на, где

0 y x Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды:x= (t-sin t), y=(1-cos t).

Вычисление длины дуги кривой.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f(x) непрерывны на [, ].

Пусть кривая задана в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t, причём x(t), y(t), x(t) 0, y(t) непрерывны на,

Несобственный интеграл. Если существует конечный (b> ), то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [ ; ) и обозначают

Пример.

Функции нескольких переменных.

Определение Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой упорядоченной паре чисел (x;y), принадлежащей множеству M, ставится в соответствие единственное действительное число z, принадлежащее множеству L. Множество M называется областью определения функции. Множество L называется областью значения функции при условии, что каждое z L соответствует хотя бы одной паре (x;y) M. Функцию двух переменных обозначают: z=f(x; y).

Частные производные.

Частные производные по x. Предел, если он существует, называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по x в точке и обозначается: ; ;.

Частные производные по y. называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по y в точке и обозначается: ; ;.

Частные производные высших порядков.

Пример.. Вычислить частные производные II порядка функции.,,,,,.

Полный дифференциал.

Скалярное поле. Часть пространства или всё пространство, в каждой точке p(x,y,z) которого задана скалярная функция U=F(x, y, z)=F(p), называется скалярным полем, а функция U= F(p) называется функцией поля. Пример. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке.,. Следовательно.

Производная по направлению. 0 y x M M1M1 P

Градиент

Экстремумы функции двух переменных.

Необходимое условие существования экстремума. Пусть функция z=f(x, y) в точке имеет экстремум и пусть существует и. Тогда,

Достаточное условие существования экстремума. Пусть для функции z=f(x, y) в критической точке существуют производные,,. Выражение назовём дискриминантом функции z=f(x, y) в точке. Возможны три случая: 1) >0, тогда точка – точка экстремума: при >0 – точка минимума; при

Пример исследовать на экстремум функцию Решение. ;. Решая систему получим четыре стационарные точки

Продолжение примера. Проверим достаточное условие экстремума в каждой из точек. ; ;.. 1)Для точки : ; ; ;. Значит, в точке экстремума нет. 1)Для точки :,. В точке функция имеет минимум. Аналогично, проверяют точки и.