1 Высшая математика (учебный курс 1сем. и 2сем.) Составитель доцент кафедры математики и моделирования ВГУЭС Голодная Наталья Юрьевна

2 Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры

3 Системы линейных уравнений

4 Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x 1, x 2,, x n – неизвестные величины; a ij (i = 1,2, …, m; j =1,2, …, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс - номер уравнения, второй номер неизвестной); b 1, b 2, …, b m – числа, называемые свободными членами.

5 Решением системы Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x 1, x 2, …, x n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. совместной Система, имеющая решение, называется совместной.

6 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределеннойсовместной неопределенной (совместной и неопределенной неопределенной). Если система не имеет решений, то несовместной она называется несовместной.

7 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 =…= b n = 0), однородной называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), квадратной то система называется квадратной.

8 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными эквивалентными или равносильными. равносильными.

9 Преобразование,применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной,называется эквивалентным равносильным эквивалентным или равносильным преобразованием. преобразованием.

10 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

11 Рассмотрим квадратную систему: (1)

12 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Проведем следующие преобразования системы: 1) поскольку a 11 0, первое уравнение оставим без изменений; 2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4; 3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3; 4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

13 эквивалентна Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x 1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4): (2)

14 Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

15 Исходную систему можно представить в виде таблицы: (3)

16 Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, будем называть матрицей размера p×q:

17 a ij Числа a ij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Если квадратнойa ii главную диагональ p = q, то есть число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной. Элементы a ii образуют главную диагональ матрицы.

18 расширенной Матрица (3) называется расширенной матрицей матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных матрица членов, то получится матрица коэффициентов системы коэффициентов системы, которую матрицей иногда называют просто матрицей системы системы.

19 Системе (2) соответствует расширенная матрица:

20 Преобразуем эту матрицу следующим образом: 1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a 22 не равен нулю; 2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей; 3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

21 В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x 1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x 2 из всех уравнений кроме первого и второго:

22 Теперь исключим неизвестную x 3 из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так: 1) первые три строки оставим без изменения, так как a 33 0; 2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

23

24 Полученная матрица соответствует системе:

25 Из последнего уравнения этой системы получаем x 4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x 3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x 2 = 1, а из первого x 1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x 4, затем x 3 и т. д.).

26 Элементарные преобразования матрицы 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

27 Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместнаопределенна совместна и определенна.

28 A Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m m и стоящую справа прямоугольную матрицу, Aтрапециевидной то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной трапецеидальной.

29 Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводитсяк трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, тосистема совместна и является бесконечно неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений много решений.

30 Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты базисными отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными свободными.

31 Если свободным неизвестным приданыконкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное частным решение называется частным решением решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое общим решением. называется общим решением.

32 Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение базисным называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, рангом системы называемое рангом системы.

33 Элементы теории матриц

34 Две матрицы одинаковой размерности p qравными p q называются равными, если в них одинаковые места заняты равными числами (на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2,..., p; j=1, 2,..., q). Пусть A = (a ij ) – некоторая матрица и – произвольное число, тогда A = ( a ij ), то при умножении матрицы A на число есть при умножении матрицы A на число все числа, составляющие матрицу A, все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число умножаются на число.

35 Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a ij ), B = (b ij ), тогда их сумма A + B – матрица C = (c ij ) той же размерности, определяемая из формулы c ij = a ij + b ij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа в них числа.

36 Матрицу A можно умножить наМатрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы матрицы

37 Каждый элемент матрицы C определяется формулой: Элемент c ij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i-строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя второй матрицы-сомножителя.

38 Нулевой матрицей Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. n Квадратная матрица размера n называется единичной единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичную матрицу можно определить формулами: a ij = 1 при i = j; a ij = 0 при i j.

39 Обратной матрицей Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A –1, для которой справедливы равенства: AA –1 = A –1 A = E. Очевидно, что A –1 – квадратная матрица того же размера, что и не матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу обратную матрицу.

40 Определители

41 Определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается = – 12 21

42 Определителем Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, по следующему правилу выбираемых по следующему правилу:

43 три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: берутся со знаком " ", а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников: берутся со знаком " ".

44 Определитель третьего порядка обозначается так:

45 Свойства определителей

46 1.Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на (-1). 2.Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю. 3.Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число. 4.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. 5.Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

47 Вычисление обратной матрицы

48 Пусть A = (a ij ) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A –1, которая вычисляетсяпоформуле:

49 в i-й строкеj-м столбце в j-й строке и в i-м Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы. обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля Еще раз подчеркнем, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля!

50 Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений

51 формулами Если определитель матрицы A не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами:

52 i – определитель n-го порядка Здесь i – определитель n-го порядка, получающийся из определителя матрицы A коэффициентов системы i-го заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

53 Векторная алгебра

54 Упорядоченную совокупность вещественных чисел называют -мерным вектором, а числа ( ) - компонентами, или координатами, вектора.

55 Операции над векторами

56 Произведением вектора на действительное число называется вектор :

57 Суммой векторов и называется вектор

58 Векторное произведение

59 Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который определяется следующими тремя условиями: 1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, т. е.

60 2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и. 3. Векторы, и, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

61 Для векторного произведения вводится обозначение или

62 Если векторы и заданы в базисе координатами, то

63 Смешанное произведение

64 Если векторное произведение двух векторов и скалярно умножается на третий вектор, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом

65 Если векторы, и в базисе заданы своими координатами то

66 Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

67 Прямая на плоскости

68 Общее уравнение прямой Вектор ортогонален прямой, числа и одновременно не равны нулю.

69 Уравнение прямой с угловым коэффициентом где - угловой коэффициент прямой, то есть, где - величина угла, образованного прямой с осью Оx, - некоторая точка, принадлежащая прямой.

70 Уравнение прямой в отрезках где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат

71 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки где

72 Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору где

73 Угол между прямыми где -угловой коэффициент одной прямой; -угловой коэффициент другой прямой.

74 Условие параллельности: Условие перпендикулярности :

75 Расстояние от точки до прямой

76 Уравнение окружности

77 Уравнение эллипса

78 Уравнение гиперболы

79 Уравнение параболы

80 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

81 Основные понятия

82 D Пусть D некоторое множество чисел. Если x задан закон, по которому каждому числу x из D множества D ставится в соответствие y единственное определенное число y, то D будем говорить, что на множестве D задана fy функция, которую назовём f. Число y это fx значение функции f в точке x, что y = f(x) обозначается формулой y = f(x).

83 x Число x называется аргументом функции, D множество D областью определения y функции, а все значения y образуют E множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

84 fвозрастающей Функция f называется возрастающей убывающейG (убывающей) на множестве G, если для х 1 х 2 G любых чисел х 1 и х 2 из множества G, таких что x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) x 1 < x 2, выполняется условие f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )).

85 -окрестностьюx 0 x (x 0, x 0 + )x 0 x окрестности Пусть некоторое положительное число. -окрестностью точки x 0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x 0, x 0 + ), кроме самой точки x 0. Принадлежность точки x окрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства 0 < x – x 0

86 Предел и непрерывность функции

87 Рассмотрим функцию y = x 2 в точке x 0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

88 Можно выбрать какое-либо положительное число и построить -окрестность точки 0 y 0 = 4. Очевидно, что найдется такая x 0 окрестность точки x 0 = 2 (на рисунке эта окрестность имеет радиус ), что если x будет лежать в этой окрестности, то x 2 соответствующее значение y, равное x 2, 0 попадет в -окрестность точки y 0 =4. Это заключение справедливо для любого, сколь x 0 угодно малого числа. Здесь точка x 0 =2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

89 Предел и непрерывность функции

90 Рассмотрим функцию. Эта функция не определена в точке x 0 = 2. При x 0 2 её можно преобразовать:

91 x 0 0 x 0 x 0 0 График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x 0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y 0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x 0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x 0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от ), то соответствующие значения y попадут в -окрестность точки y 0 = 3.

92 пределом функции Число A называется пределом функции y = f(x) y = f(x) в точке x 0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x 0 ), если для любого положительного числа можно найти такое положительное число, что для всех x из -окрестности точки x 0 соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

93 Можно сформулировать определение предела функции иначе Можно сформулировать определение предела функции иначе: пределом функции Число A называется пределом функции y = f(x)x 0 y = f(x) в точке x 0, если для любого положительного числа можно найти такое x положительное число, что для всех x, 0 < x – x 0 < удовлетворяющих условию 0 < x – x 0

94 y = f(x) Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) x = x 0 в точке x = x 0, записывается формулой: Рассмотрим функцию x > 0y = 2x Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; x < 0y = –2xx = 0 если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена.

95 График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, x = 0 эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

96 y = f(x)непрерывной в Функция y = f(x) называется непрерывной в точкеx = x 0 точке x = x 0, если она определена в этой f(x 0 ) точке и ее значение f(x 0 ) равно пределу функции в этой точке: Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке непрерывной на этом промежутке.

97 Свойства предела функции

98 1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела. 2. если C постоянная функция. 3. Если существует и C постоянная функция, то

99 4. Если существуют и то существует, равный

100 а также существует, равный. Если при этом, то существует, равный.

101 Bпределом функции f(x) в Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число, такое что из условия 0 < x – a < B –f(x) < 0 < x – a < будет следовать B –f(x)

102 Спределом функции f(x) в Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < b – x < C – f(x) < 0 < b – x < будет следовать C – f(x)

103 f(x)непрерывной в Функция f(x) называется непрерывной в точке a справанепрерывной в точке b точке a справа (непрерывной в точке b слева слева), если непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], (a, b),a b Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. ( )

104 Для того, чтобы выполнялось равенство, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства: одновременно выполнялись два равенства: ;

105 Аf(x) Число А называется пределом функции f(x) х при х, стремящемся к бесконечности: если для любого положительного числа M можно найти такое положительное число M х (зависящее от ), что для всех чисел х, М превосходящих М, выполняется условие: f(x) – A

106 Аf(x) Число А называется пределом функции f(x) х при х, стремящемся к минус бесконечности:, если для любого положительного числа M можно найти такое положительное число M х (зависящее от ), что для всех чисел х, М превосходящих -М, выполняется условие: f(x) – A

107 Производная

108 Если существует предел отношения (f(x + x) – f(x)) / x x = 0 в точке x = 0, то он называется производнойy = f(x)x производной функции y = f(x) в точке x и y f (x) обозначается y или f (x):

109

110 y = f(x) дифференцированием Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием. (a;b)f (x), f(x) дифференцируемой на промежутке (a;b). Если для любого числа x из открытого промежутка (a;b) можно вычислить f (x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a;b).

111 Геометрический смысл f(x)x Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Производная - это скорость изменения функции в точке x.

112 Таблица производных основных функций

113 f(x)f(x)f(x)f(x) f´(x)f´(x)f´(x)f´(x) f(x)f(x)f(x)f(x) f´(x)f´(x)f´(x)f´(x) f(x)f(x)f(x)f(x) f´(x)f´(x)f´(x)f´(x) C0 cosx -sinx x1lnx1/x tgx 1/cos 2 x xnxn nx n-1 axax a x lna arcsinx arccosx 1/x-1 / x 2 sinxcosx arctgx 1/(1+x 2 )

114 производной Теорема о производной сложной функции сложной функции: Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x). F (x) = f (z) g (x).

115 Дифференциал функции

116 y = f(x) f (x) xдифференциалом dy Главная, линейная относительно x, часть приращения функции y = f(x), равная f (x) x, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f (x) x. Производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

117 Производные высших порядков

118 f (x) Может оказаться что функция f (x), называемая первой производной, тоже имеет (f (x)) производную (f (x)). второй Эта производная называется второй производной производной функции f(x) и обозначается f (x) f (x).

119 Если эта функция имеет производную, то третьей эта производная называется третьей производной производной функции f(x) и обозначается f (x) f (x). Все производные, начиная со второй, производными высших называются производными высших порядков порядков.

120 Формула Лагранжа

121 Если функция непрерывна на замкнутом [a;b] промежутке [a;b] и дифференцируема на (a;b) открытом промежутке (a;b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a;b) (a;b), для которой справедливо равенство: f(b) - f(a) = f (c)(b - a) f(b) - f(a) = f (c)(b - a). (1) формулой Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа конечных приращений Лагранжа.

122

123 Теорема о монотонности функции. Если f (x) > 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f (x) < 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

124 Необходимые и достаточные условия экстремума функции

125 x 0 минимума функцииf(x) xТочка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) > f(x 0 ). f(x) > f(x 0 ).

126

127 x 0 максимума функцииf(x) xТочка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) < f(x 0 ). f(x) < f(x 0 ).

128

129 Теорема о необходимом условии экстремума функции: Теорема о необходимом условии экстремума функции: Если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

130 Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются существует, называются критическими.

131 Теорема(достаточноеусловие экстремума): Пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0. Тогда: 1) если f (x) 0 на (x 0 ;b), то точка x 0 – точка минимума функции f(x); 2) если f (x) > 0 на (a;x 0 ) и f (x) 0 на (a;x 0 ) и f (x) < 0 на (x 0 ;b), то точка x 0 – точка максимума функции f(x);

132 Выпуклость и вогнутость функции

133 (a;b) f(x) вогнутойЕсли на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

134

135 (a;b) f(x) выпуклойЕсли на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

136

137 x 0 точкой перегиба f(x) (a; x 0 )(x 0 ;b)Точка x 0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a; x 0 ) и (x 0 ;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

138

139 x 0 точкой Точка x 0 называется точкой перегибаf(x) перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и (a;x 0 ) существуют два промежутка: (a;x 0 ) и (x 0 ;b) (x 0 ;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

140

141 Будем называть функцию возрастающей в точке x 0 возрастающей в точке x 0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую убывающую в точке.

142 Если f (x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f (x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

143

144 Неопределенный интеграл

145 F(x) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)(a;b) f(x) на промежутке (a;b), если x (a;b) для всех x (a;b) выполняется F (x) = f(x). равенство F (x) = f(x).

146 Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f

147 Докажем две вспомогательные теоремы: Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g (x) = 0. Если g (x) = 0 при всех x (a;b), то g(x) = C на (a;b).

148 Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

149 Множество всех первообразных для f(x)(a;b) функции f(x) на промежутке (a;b) неопределенным называется неопределенным интегралом f(x)dx интегралом и обозначается f(x)dx. интегрированием Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

150 Замена переменной в неопределенном интеграле

151 f(x) Если функция f(x) непрерывна, а (t) функция (t) имеет непрерывную (t) производную (t), то имеет место формула: f( (t)) (t) dt = f(x) dx, f( (t)) (t) dt = f(x) dx, где x = (t).

152 Формула интегрирования по частям

153 u(x)v(x) Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) = u v + v u Отсюда следует (uv) dx = (u v + v u )dx = (uv) dx = (u v + v u )dx = = u v dx + v u dx = u v dx + v u dx или uv dx = uv – u v dx. uv dx = uv – u v dx.

154 Отсюда следует формула, которая формулой называется формулой интегрирования по частям интегрирования по частям: u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)

155 Определенный интеграл

156 Определенным интегралом [a;b] от функции по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

157 aнижним пределом Число a называется нижним пределом интегрированияbверхним интегрирования, а число b верхним пределом интегрирования пределом интегрирования. На рисунке 2 криволинейная трапеция S выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой

158

159 Определенный интеграл как функция верхнего предела

160 f(t) Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, a содержащем точку a. Тогда каждому числу x x из этого промежутка можно поставить в соответствие число определив тем самым на промежутке I(x) функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом переменным верхним пределом.

161 Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x.

162 Формула Ньютона-Лейбница

163 Здесь F(x) любая первообразная функции f(x).

164 Несобственные интегралы с бесконечными пределами

165 Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a; ), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом называется, если предел существует.

166 Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный расходится интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный сходится интеграл сходится.

167 Функция нескольких переменных

168 Основные понятия

169 n+1 Пусть имеется n+1 переменная x 1, x 2,..., x n y x 1, x 2,..., x n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений x 1, x 2,..., x n переменных x 1, x 2,..., x n соответствует единственное y значение переменной y.

170 fn y x 1, x 2,..., x n f(x 1, x 2,..., x n ) Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x 1, x 2,..., x n называется значением функции f в точке (x 1, x 2,..., x n ), что записывается в виде формулы y=f(x 1,x 2,..., x n ) y=f(x 1,x 2,..., x n ) или y =y(x 1,x 2,..., x n ) y =y(x 1,x 2,..., x n ).

171 функция двух переменных (x;y) D f(x;y) f (x;y) Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x;y) из некоторого множества D поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x;y) и называется значением функции f в точке (x;y). Dобластью определения Множество D называется областью определения функции.

172 График функции двух переменных есть (x;y;f(x;y))(x;y) D множество точек (x;y;f(x;y)), где (x;y) D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

173

174 Пусть некоторое положительное число. -окрестностьюM 0 (x 0 ;y 0 ) -окрестностью V точки M 0 (x 0 ;y 0 ) называется множество всех точек, x ; y) координаты (x ; y) которых удовлетворяют Неравенствам:

175 M 0 (x 0 ;y 0 )точкой Точка M 0 (x 0 ;y 0 ) называется точкой минимумаz = f(x;y) минимума функции z = f(x;y), если существует такое положительное число, M(x;y) V (x 0 ;y 0 ) что из условия M(x;y) V (x 0 ;y 0 ) f(x;y) > f(x 0 ;y 0 ) следует f(x;y) > f(x 0 ;y 0 ).

176 M 0 (x 0 ;y 0 )точкой Точка M 0 (x 0 ;y 0 ) называется точкой максимумаz = f(x;y) максимума функции z = f(x;y), если существует такое положительное число, M(x;y) V (x 0 ;y 0 ) что из условия M(x;y) V (x 0 ;y 0 ) f(x;y) < f(x 0 ;y 0 ) следует: f(x;y) < f(x 0 ;y 0 ). Точки минимума и максимума точкамиэкстремума называются точками экстремума.

177 пределом функции z = f(x;y)точке M 0 (x 0 ;y 0 ): Число A называется пределом функции z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ): > 0 > 0 M(x;y) M 0 (x 0 ;y 0 ) если для произвольного числа > 0 найдется такое число > 0, что для всех точек M(x;y) из -окрестности точки M 0 (x 0 ;y 0 ) выполняется неравенство |f(x;y) - A|

178 z = f(x;y) Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке M 0 (x 0 ;y 0 ) непрерывной в точке M 0 (x 0 ;y 0 ), если

179 Частные производные

180 Частной производной по x Частной производной по x функции z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ) называется предел если этот предел существует.

181 Совершенно аналогично можно частную определить частную производную по y функции z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ) z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ):

182 Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по xyвторыми x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка производными второго порядка и z xx, z yy, z xy обозначаются z xx, z yy, z xy или

183 Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y.

184 Дифференциал функции двух переменных

185 Дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов.

186 Дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке. Функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

187 z = f(x;y) F Р 0 Рz P 0 Р 0 Р = f(x 0 ;y 0 ). На рисунке 1 график функции z = f(x;y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р 0 Р равна значению функции z в точке P 0, то есть Р 0 Р = f(x 0 ;y 0 ). Р 0 равен R 2 R 1 Дифференциал функции в точке Р 0 равен R 2 R 1.

188

189 Так как df(x 0 ;y 0 ) f(x 0 ;y 0 ), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

190 Производная по направлению

191 Производной функции z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ) по направлению называется число

192 Градиентом или вектором-градиентом функции f(x;y) в точке (x;y) G называется вектор, который задается формулой

193 Производная по направлению от Производная по направлению от функции z = f(x;y) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos 1, и равенство достигается только если = 0.

194 Вектор-градиент функции в точке Вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

195 Экстремум функции двух переменных

196 Точка M 0 (x 0 ;y 0 ) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x;y), если найдется такая окрестность точки M 0, что для всех точек M(x;y) из этой окрестности выполняется неравенство Точка M 0 (x 0 ;y 0 ) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x;y), если найдется такая окрестность точки M 0, что для всех точек M(x;y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x;y) f(x 0 ;y 0 )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

197

198 Пусть z x (x 0,y 0 )=0 и z y (x 0,y 0 ) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x 0 ;y 0 ).

199 Введем обозначения: A = z xx (x 0 ;y 0 ); A = z xx (x 0 ;y 0 ); B = z xy (x 0 ;y 0 ); C = z yy (x 0 ;y 0 ); C = z yy (x 0 ;y 0 ); D = AC - B 2.

200 Тогда, если D < 0, то в точке (x 0 ;y 0 ) экстремума нет. Если D > 0, причем если A > 0, то в точке (x 0 ;y 0 ) функции z имеет минимум, а если A < 0, то максимум. Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть.

201 Метод наименьших квадратов

202 Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам x i, y i.

203 Итогом этих испытаний является Итогом этих испытаний являетсятаблица: x x1x1x1x1 x2x2x2x2… xnxnxnxn y y1y1y1y1 y2y2y2y2… ynynynyn

204 где каждому числу x i (величину x рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число y i (величину y рассматриваем как зависимый показатель – результат). где каждому числу x i (величину x рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число y i (величину y рассматриваем как зависимый показатель – результат).

205 t t1t1t1t1 t2t2t2t2… tntntntn y y1y1y1y1 y2y2y2y2… ynynynyn x i t 1, t 2,..., t n В качестве значений x i часто рассматриваются моменты времени: t 1, t 2,..., t n, взятые через равные промежутки. Тогда таблица временным рядом называется временным рядом.

206 Пусть точки с координатами (x i,y i ) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a 0 и a 1 этой прямой: y = a 0 + a 1 x, (1) y = a 0 + a 1 x, (1) причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (x i, y i ).

207 Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле S 2 =(y 1 –(a 0 +a 1 x 1 )) 2 +(y 2 -(a 0 + a 1 x 2 )) 2 +… + (y n – (a 0 + a 1 x n )) 2 =

208 Можно показать, что график функции S 2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке:

209 Точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума: (2) (3)

210 (2)(3) Уравнения (2) и (3) можно преобразовать: система Получилась так называемая система нормальных уравнений нормальных уравнений относительно a 0 a 1 неизвестных величин a 0 и a 1. (4). (4)

211 (1)a 0 a 1 (4) уравнением регрессии Формула (1) с параметрами a 0, a 1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. линией регрессии Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. тренд Для временных рядов обычно вместо слова регрессия употребляется слово тренд.