Моделирование сезонных и циклических колебаний Два подхода –Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели; –Применение фиктивных переменных. Аддитивная модель Y=T+S+E Мультипликативная модель Y=TSE T - трендовая составляющая, S – циклическая (сезонная) составляющая, E – случайная составляющая.

Если амплитуда колебании приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда.

Алгоритм построения модели(методом скользящей средней) 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет сезонной компоненты S. 3. Устранение сезонной компоненты из исходных членов ряда и получение выравненных данных (T+E) в аддитивной модели или (TE) в мультипликативной модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (TE) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (TS). 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Пример. Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев. Найти: коэффициенты автокорреляции до 5 порядка; построить аддитивную (или мультипликативную) временного ряда.

аддитивная модельмультипликативная модель корректирующий коэффициент: корректированные сезонные компоненты контроль сумма значений сезонной компоненты равна 0 сумма значений сезонной компоненты = числу периодов в цикле выравнивание сезонной компоненты расчет ошибок абсолютные ошибки E' = y t -(T*S) оценка качества модели

Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебания.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

Параметр b в этой модели характеризуют среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель (*) - аналог аддитивной модели временного ряда.

Пример Построим модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных для данных о потреблении электроэнергии за 16 кварталов, млн.кВт.ч. 16,0 24,4 35,0 49,0 57,2 64,8 76,0 810,0 98,0 105,6 116,4 1211,0 139,0 146,6 157,0 1610,8

r10, r2-0,56687 r30, r40, r50, r6-0,72205 r7-0,00337

Составим матрицу исходных данных 11006, , , , , , , , , , , , , , , ,8

Оценим параметры уравнения регрессии (*) обычным МНК. Результаты оценки приведем в табл. переменнаякоэффициентt-критерий Const t x 1 x 2 x R 2 =0,985t табл = 2

Уравнение регрессии имеет вид:

Влияние сезонной компоненты в каждом квартале статистически значимо (t крит =2). Сезонные колебания в I, II, III кварталах приводят к снижению этой величины. В уровнях ряда присутствует возрастающая тенденция.

КОИНТЕГРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ОПР. Коинтеграцией называется зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций.

Рассмотрим уравнение регрессии вида: Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов и является критерий Энгеля-Грангера.

Алгоритм применения критерия: 1. Выдвигается ноль-гипотеза об отсутствии коинтеграции между рядами и. 2.Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида (**) Где -первые разности остатков, полученных из соотношения 3.Определяют фактическое значение t- критерия для коэффициента регрессии в уравнении (**).

4.Сравнивают полученное значение с критическим значением статистики. Если фактическое значение больше критического значения для заданного уровня значимости, то ноль-гипотезу об отсутствии коинтеграции исследуемых временных рядов отклоняют и с вероятностью принимают альтернативную гипотезу о том, что между рядами есть коинтеграция. В противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не отклоняется.

Поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени.

Пример. Пусть имеются данные о среднедушевом располагаемом доходе и среднедушевом расходе на конечное потребление в США в период с 1960 по 1991 г. Провести тестирование временных рядов среднедушевого дохода и расхода на потребление на коинтеграцию.

Год, Среднедушевой располагаемый доход Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки Скорректированные остатки дохода,расхода, , ,982092,871862, ,612207,952023, ,122196,602042, ,942520,302222, ,572581,032326, ,992627,082396, ,292690,452334, ,882762,832562, ,982762,322543, ,102880,592480, ,742920,732583, ,173051,892855, ,573430,272889, ,652813,122501, ,903018,912719, ,653251,033050, ,003256,783055, ,393545,963153, ,763409,943052,98

Год, Среднедушевой располагаемый доход (долл.США), Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки, Скорректированные остатки дохода, расход а, ,413239,062826, ,663414,812945, ,443294,862940, ,653505,153328, ,754037,343477, ,943771,213556, ,933898,473587, ,393677,403585, ,224027,493751, ,113916,293631, ,763938,353565, ,773681,063386,19

Регрессионный анализ зависимости среднедушевых расходов на конечное потребление от среднедушевого располагаемого дохода показал следующее: Константа -174,746 Коэффициент регрессии 0, Стандартная ошибка 0, R-квадрат 0, Число наблюдений 32 Число степеней свободы 30 Уравнение регрессии имеет вид:

Применим критерий Энгеля-Грангера. Воспользовавшись полученным уравнением регрессии,определим остатки (см. табл.). Определим параметры уравнения регрессии: Константа -1,7293 Коэффициент регрессии -0,2724 Стандартная ошибка 0, R-квадрат 0, Число наблюдений 31 Число степеней свободы 30

Фактическое значение t-критерия, рассчитанное по данным уравнения регрессии,равно -2,154. Критическое значение =1,9439 Вывод: с вероятностью 95% можно отклонить ноль-гипотезу и сделать вывод о коинтеграции временных рядов среднедушевого дохода и среднедушевых расходов на конечное потребление