Элементы дифференциального исчисления Лекция 4

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6.Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика

Производная. Задача о касательной Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке. x0x0 y 0 к

Производная. Задача о касательной Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке Очевидно, при а стремится к. Тогда угловой коэффициент касательной равен.

Производная. Определение Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка Рассмотрим далее точку В обеих точках вычислим значения функции и разность. Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке.

Производная. Определение Если существует конечный (или бесконечный) =, то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается символами или, т.е.

Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры. y y в точке 0

Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую через точку касания, задают уравнением. Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

Теоремы о производных

Например: y x y' не существует в точке

Примеры

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную. Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную или.

Примеры Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny, которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

Примеры Итак, Аналогично можно получить

Теорема о производной сложной функции

Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда

Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции

Производные гиперболических функций Поэтому

Таблица производных

Дифференцируемая функция

Дифференциал функции

Определение дифференциала Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде, где - приращение аргумента, А-величина, не зависящая от, -бесконечно малая более высокого порядка, чем при

Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается. Итак, по определению. Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

Дифференциал функции

Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

Производные высших порядков

Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается. По определению Итак, и т.д.

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

Пример Найти производную функции Имеем

Производные неявных функций Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.

Пример Продифференцируем функцию. Имеем. Отсюда

Продолжение Найдем вторую производную. Так как то

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции Прологарифмируем обе части: Теперь берем производную Окончательно