Правильные многогранники Мелихов Евгений, 10Б класс

Понятие правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер. Примером правильного многогранника является куб

Существует всего пять правильных многогранников: ТТ ееее тттт рррр аааа ээээ дддд рррр КК уууу бббб ОО кккк тттт аааа ээээ дддд рррр ДД оооо дддд ееее кккк аааа ээээ дддд рррр ИИ кккк оооо сссс аааа ээээ дддд рррр

Комбинаторные свойства Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2. Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у куба и октаэдра 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра 4:1. Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у куба и октаэдра 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра 4:1. Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где: Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где: p число сторон каждой грани; p число сторон каждой грани; q число рёбер, сходящихся в каждой вершине. q число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, то выполняются соотношения: pГ = 2Р = qВ. Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, то выполняются соотношения: pГ = 2Р = qВ. Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г: Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

Геометрические свойства Углы С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многоугольника {p, q} задается формулой: С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многоугольника {p, q} задается формулой: Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс: где h принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект δ при любой вершине правильного многогранника: По теореме Декарта, он равен 4π делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен 4π). Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле: Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (4π стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника. Константа - золотое сечение.

Радиусы, площади и объёмы С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы: Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника; Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника; Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине; Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине; Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре. Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре. Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами: где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой: где h – величина, описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10).

Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г: Объем Объем правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой - радиус вписанной сферы r:

Константы φ и ξ задаются выражениями Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

Правильный тетраэдр Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Куб Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный октаэдр Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Правильный икосаэдр Составлен из двенадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Составлен из двенадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.