Уважаемый одиннадцатиклассник! Ты приступаешь к изучению очень интересной темы курса Стереометрии, которая называется «Тела вращения». Наверное, ты уже догадался из названия темы, что нами будут рассматриваться тела, полученные в результате вращения определенных геометрических фигур. Изучение тел вращения мы начнём с цилиндра. Для начала рассмотрим самый простой пример…

Перед вами прямая и точка, ей не принадлежащая. L A

Начнем вращать точку А вокруг прямой L на расстоянии, равном длине перпендикуляра, опущенного из т.А на L. L A О

В результате мы получим окружность радиуса АО L A О А Ось вращения

Теперь попробуем вращать вокруг прямой L отрезок АВ. Причем, каждая точка отрезка АВ вращается на расстоянии, равном длине перпендикуляра, опущенному из данной точки на L. Как вы думаете, что при этом мы получим? А В L

Получим фигуру, похожую на трубу. L А В

Но ведь отрезок может располагаться и иначе! L А В

С чем у вас ассоциируется эта полученная фигура вращения? А В L

ВA А это третий вариант расположения отрезка АВ. Тогда при его вращении получаем следующее… АВ L

Теперь перейдем непосредственно к изучению темы. Рассмотрим прямоугольник. A B C D

В качестве оси вращения примем одну из его сторон, например СD. A BC D L

Начинаем вращать прямоугольник вокруг оси L. Не забываем, что каждую точку прямоугольника мы вращаем на расстоянии перпендикуляра, опущенного из нее на ось вращения! B AD C L

Получаем тело вращения, называемое ЦИЛИНДР. A BC D L B1 A1

Цилиндр – тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.

В учебнике А.В. Погорелова дается следующее определение цилиндра…

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. А А К К Основания цилиндра Образующие

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. Образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих. А À А!!А

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. O 1 A 1 =OA=r Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. O 1 O=h Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. L – ось цилиндра L о1о1 о h r A A1A1 r

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Осевое сечение есть прямоугольник со сторонами равными h и 2r. r h L

Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, является окружность радиуса r. L о1о1 о r h

L о1о1 о h r A A1A1 Площадь боковой поверхности цилиндра определяется по формуле S бок =2Пrh

L о1о1 о h r A A1A1 Полная поверхность цилиндра равна сумме боковой поверхности и двух оснований. S пов =2Пr(r+h)

L о1о1 о h r A A1A1 Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V=Пr 2 h

А теперь проверим, как вы усвоили данный материал. Ответьте, пожалуйста, на вопросы предлагаемого теста. (нажмите на слове «Тест») Тест Тест

Что называется радиусом цилиндра? Радиус основания цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований.

НЕВЕРНО

Какая фигура лежит в сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси? Окружность.Эллипс.

Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Чему равна диагональ осевого сечения? 5 м. 6 м.

Какая фигура образуется при осевом сечении цилиндра? Прямоугольник.Окружность.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Чему равна площадь основания цилиндра? 4ПQ24ПQ2

Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? S=2ПrhS=2Пr(r+h)

R=3 см, h=5 см, S бок =? 30 П см 2 48 П см 2

Чему равна площадь полной поверхности цилиндра? S=2Пr(r+h) S=2Пrh

Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя основание, чтобы объем увеличился в n раз? В n раз.В n/2 раз.

Чему равен объем цилиндра? Пr2hПr2h2Пr 2 1/3Пr 2 h

H=8 d=2 S пов =? 48 П16 П

Вот наше занятие и подошло к концу. Надеемся, ты хорошо усвоил данную тему. Конец