Ученицы 11 класса Средней школы 2 Еремеевой Екатерины

Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Т е о р е м а 1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b – перпендикулярные прямые, а 1 и b 1 – параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а и b перпендикулярны. Если прямые a, b, а 1, b 1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии. В а b С А B А В С аb α b1b1 а1а1 А1А1 B1B1 С1С1 α1α1 Рис.1

Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α, а прямые а 1 и b 1 – в некоторой плоскости α 1 (рис.1). По теореме I плоскости α и α 1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а С 1 – точка пересечения прямых a 1 и b 1. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а 1 прямую, параллельную прямой СС 1. Она пересечет прямые а и а 1 в точках А и А 1. В плоскости прямых b и b 1 проведем прямую, параллельную прямой СС 1, и обозначим через B и B 1, точки ее пересечения с прямыми b и b 1. Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1, ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1. А она пересекает параллельные плоскости а и а 1 по параллельным прямым АВ и A 1 B 1. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А 1 В 1, АС=А 1 С 1, ВС=В 1 С 1. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол A 1 C 1 B 1, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а 1 и b 1 перпендикулярны. Теорема доказана.

Решение. Пусть а прямая и А точка на ней (рис. 2). Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через эту точку и прямую a плоскость α (теорема II). В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой а. а А b X а А b X а А b X а А b X Рис.2 Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения (рис. 3). а α Рис.3

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости α. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и с (рис. 4). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α. Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X. Рис.4 А Х х B b С с А1А1 А2А2 а α Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные стороны равные отрезки АА 1 и АА 2. Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА 1 = АА 2 ). По той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников А 1 ВС и А 2 ВС следует равенство углов А 1 ВХ, А 2 ВХ и, следовательно, равенство треугольников А 1 ВХ и А 2 ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А 1 Х и А 2 Х этих треугольников заключаем, что треугольник А 1 ХА 2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

Решение. Пусть а данная прямая и А точка на ней (рис. 5) в них через точку А прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Плоскость α, проходящая через эти прямые, перпендикулярна прямой а по теореме 2. Докажем, что эта плоскость единственна. Допустим, что, кроме плоскости α, существует другая плоскость α', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис. 6). Пусть В точка плоскости α', не лежащая в плоскости α. Рис.5 А а с b α Задача(2). Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Проведем через точку В и прямую а плоскость. Она пересечет плоскости α и α ' по различным прямым b и b', перпендикулярным прямой а. А это, как мы знаем, невозможно, так как на плоскости через данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Итак, плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а, единственна. Рис.6 b b'b' B А а α α'α'

Задача (3). Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую. Решение. Пусть а данная плоскость и А точка на ней (рис.7). Проведем в плоскости α через точку А две прямые b и с. Проведем через точку А перпендикулярные им плоскости. Они пересекутся по некоторой прямой а, перпендикулярной прямым b и с. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости α. А а b с α Рис.7

Докажем, что эта прямая единственна. Допустим, что, кроме прямой а, существует другая прямая а', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости α (рис. 8). Проведем через прямые а и а' плоскость. Она пересечет плоскость α по некоторой прямой b, перпендикулярной прямым а и а'. А это, как мы знаем, невозможно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, единственна. α а'а' A b а Рис.8

Т е о р е м а 3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, та она перпендикулярна и другой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а 1 и а 2 две параллельные прямые и α плоскость, перпендикулярная прямой а 1 (рис. 9). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2. Проведем через точку А 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью α произвольную прямую х 2 в плоскости α. Проведем в плоскости α через точку А 1 пересечения прямой а 1 с α прямую х 1, параллельную прямой х 2. Так как прямая а 1 перпендикулярна плоскости α, то прямые а 1 и х 1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и x 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а 2 перпендикулярна любой прямой х 2 в плоскости α. А это значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана. α a1a1 a2a2 A1A1 A2A2 X1X1 X2X2 b Рис. 9

Решение. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые b и с (рис. 10). Через точку их пересечения проведем плоскости β и γ, перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости α. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 3 она перпендикулярна плоскости α. Задача (4). Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α. α βץ a b c A Рис.10

Доказательство. Пусть а и b две прямые, перпендикулярные плоскости α (рис. 11). Допустим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости α. Проведем через точку С прямую b',параллельную прямой а. Прямая b перпендикулярна плоскости α (теорема 3). Пусть В и В' точки пересечения прямых b и b' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Рис.11 а С bb' В В'В' α