ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши. (продолжение)

Многошаговые методы Многошаговые методы -основаны на том, что для вычисления значения y i+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т. е. значения y i-k+1, y i-k+2, …, y i.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части этого уравнения по х на отрезке Интеграл от левой части легко вычисляется :

Для вычисления интеграла от правой части уравнения (2) строится сначала интерполяционный многочлен P k-i степени k -1 для аппроксимации функции на отрезке по значениям

Таким образом,

Приравнивая выражения, полученные в (3) и (4), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y i+1 в узле x i+1 :

На основе предыдущей формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена P k-i (x), для построения которого используются значения сеточной функции y i, y i-1, …, y i-k+1, вычисленные на k предыдущих шагах.

Методы Адамса. 1. метод Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех.

Пусть найдены значения в четырех последовательных узлах (k = 4). При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части где

В качестве интерполяционного многочлена Р з (х) можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага h конечные разности для правой части в узле имеют вид

Тогда разностную схему четвертого порядка метода Адамса можно записать после необходимых преобразований в виде

Сравнивая метод Адамса с методом Рунге- Кутта той же точности, можно отметить его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (в методе Рунге-Кутта четырех).

Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет по одному лишь известному значению у 0. Расчет может быть начат только с узла х з, а не x 0.

Значения у 1, у 2,у 3 нужно получить каким- либо другим способом, что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета.

2. Метод прогноза и коррекции. Суть метода: На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы: с помощью явного метода по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле; используя неявный метод, в результате итераций находятся приближения

разностные соотношения для k-ого шага метода Адамса имеют вид:

Точность вычислений оценивается по формуле:

Метод Милна. Для предсказания используем первую формулу Милна

Уточнение(коррекция) производится по второй формуле Милна

Для оценки точности вычислений используется формула: